半正定矩阵和正定矩阵的一些理解和补充
文章目录
- 一:半正定矩阵
- 二:正定矩阵
- 3.直观理解正定、半正定矩阵
一:半正定矩阵
设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有xTAx≥0,就称A为半正定矩阵。
等价条件:
1. A是半正定的;
2. A的所有主子式均为非负的;
3. A的特征值均为非负的;
4. 存在n阶实矩阵C,使A=CTC;
5. 存在秩为r的r×n实矩阵B,使A=BTB。
注:顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。
补充:
1)AAT一定是半正定矩阵
证明:根据上面的定义出发,有如下,
XT(AAT) X= (ATX)T(ATX) = ||ATX||2 >=0
所以得证。
2)tr(AAT),其中A为n*1的矩阵
tr(AAT) = ATA,其中A为n*1的矩阵。
举个例子:
假设矩阵A = (1 2 3)T,AT=(1 2 3),可以算出tr(AAT)=ATA
二:正定矩阵
A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有xTAx>0,其中xT 表示x的转置,就称A正定矩阵.
等价条件:
1. A的一切顺序主子式均为正;
2. A 的一切主子式均为正;
3. A 的特征值均为正;
4. 在实可逆矩阵C,使A=CTC;
5. 存在秩为n的m×n实矩阵B,使A=BTB。
判别对称矩阵A的正定性有两种方法:
1.求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。
2.计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶顺序主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。
3.直观理解正定、半正定矩阵
参考链接:https://blog.csdn.net/asd136912/article/details/79146151
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