内容提要:

1 群在集合上的作用; 2 Sylow定理; 本文主要参考文献.

本文的前置内容为:

格罗卜：群论(1): 群, 同构定理, 循环群

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1 群在集合上的作用

1-1. [双射变换群]

1-2.[群作用]

• (1)
  ;
• (2)
  .

则称

作用. 或者

1-3. [群的置换表示]

置换表示. 若

• 为
  在
  上的

  置换表示. 那么

  是
  的正规子群，
  为
  的子群.
• 能被

  作用的集合 与

  的置换表示的集合 之间存在

  对应.

1-4. [轨道]

• 易知
  存在
  使得
  是一个等价关系.
• 所在的等价类为
  .
• 可分拆分为轨道的无交并.
• 如果
  有限，那么轨道数目有限，并且
  .

1-5. [稳定子群]

• 是
  的子群.

[证明] 需要证明

, 由

，两边由

作用即可.

• .
• 如果
  , 那么
  .

[证明]

.

1-6. [轨道-稳定子定理] 设

[证明]

,

. 良定性和双射性都显然.

• 特别地, 当
  是有限群时,
  .

1-7. [不动点] 轨道长为1的点.

1-8. [群在自身上的左平移] 设

• 由左平移给出的
  称为
  的

  左正则表示.

• 核:
  .
• 轨道: 传递.
• 不动点: 不存在.
• 推论: Caylay定理- 任意群都同构与某一集合上的变换群. (注: 变换群:
  的子群).

1-9. [群在自身上的右平移] 设

• 由右平移给出的
  称为
  的

  右正则表示.

• 核:
  .
• 轨道: 传递.
• 不动点: 不存在.

1-10. [群在自身上的共轭] 设

• 由共轭给出的
  称为
  的

  共轭表示.

• 核:
  称为群
  的

  中心.

• 轨道:
  所在的轨道称为
  所在的

  共轭类

  .
• 稳定子群:
  , 称为
  在
  中的

  中心化子, 这个一个子群.

• 不动点:
  .
• 类方程: 如果群

  有限. 由

  , 可以得到:
  (这里
  是所有的共轭类).

1-11.

群有非平凡的中心.

[证明] 这由下一条直接得出.

1-12.

群

.

[证明] 由

, 这里

是长不为

的轨道并且

整除

.

1-13. [群在左商集上的左平移] 设

• 由左平移给出的
  称为
  的

  左诱导表示.

• 核:
  为
  的正规子群.

[证明]

当且仅当对于任意

都有

, 当且仅当对于任意

都有

, 当且仅当对于任意

都有

, 当且仅当对于任意

都有

, 当且仅当

.

• 不动点:
  .
• 如果
  有限, 除非
  否则不动点集合是空集.

2 Sylow定理

2-1. [Sylow子群] 假如

Sylow-

子群.

• 根据2-2, Sylow子群一定存在.

2-2. [Sylow第一/三定理] 设

• (1)
  .
• (2) 特别地,
  中有
  阶子群.
• (3) 假如
  且
  , 则
  .

[证明]

, 这里

和

不一定互素. 设

表示

的

元子集的全体的集合, 那么

.

考虑

,

. 这是一个群作用, 相应的置换表示为

. 所以有轨道分解:

.

取元素

,

,

,

, 注意

都是

元子集. 于是有相应的

,

,

,

, 这里意

是

的稳定子群.

于是有

.

Step 1. 断言:

为

群, 即它的阶为

的方次, 并且方次数不大于

.

这是因为由稳定子的定义,

, 故

为若干个

的左陪集之并, 因此

整除

.

Step 2. 在Step 1中我们说明了

为

群, 它的阶不大于

. 我们分恰好等于

和严格小于

两种情形来讨论.

, 则

.

, 则

.

于是由

知

.

Step 3. 讨论长为

的轨道.

不妨设

, 则

, 而我们知道

. 由于

为若干个

的左陪集之并, 因此对于任意的

有

. 即

为

的一个左陪集.
现在

(这里

为

阶子群)

.

结论: 每个长为

的轨道皆为某个

阶子群的全体右陪集的集合. Step 4. 讨论

阶子群.

对于

的每一个

阶子群

. 其全体右陪集之集合

显然为

在

上长为

的轨道.

Step 5. Step 3 与Step 4 给出了长为

的轨道和

阶子群的一一对应.

Step 6. 由Step 2 与Step 5可知

.

Step 7. 把此式运用到

阶循环群上, 有

.

因此

,

因此

.

这就证明了(1), (2). 现在来证明(3). 考虑

在所有Sylow

-子群集合

上的共轭作用, 由

Sylow第二定理, 只有一条轨道, 根据轨道-稳定子定理, 即有

整除

.

2-3. [Sylow第二定理] 设

• (1)
  的任何一个
  -子群包含在一个Sylow
  -子群内,
• (2)
  的所有Sylow-
  子群相互共轭.
• (3)
  的Sylow-
  子群正规当且仅当它只有一个.

[证明] 设

是

的

阶子群,

是一个Sylow

-子群,

考虑表示

,

,

. 这是一个群作用.

群

在有限集合

上作用, 那么

. 这里

是不动点集.

所以一定存在不动点

.

即对于

有

, 即

,

. 注意

也是群, 从而是Sylow

-子群, 这就证明了(1).

当

时

也是Sylow-

子群, 又因为

, 得到

, 说明Sylow-

子群相互共轭.

本文主要参考文献: Joseph J.Rotman : 高等近世代数, Advanced Modern Algebra, 出版社:机械工业出版社, ISBN:9787111191605

高等近世代数 (豆瓣)​book.douban.com