最小生成树：对于一个无向连通图的最小生成树，选取边使得图中每个顶点连通且花费最小。

在kruskal算法中，集合A是一个森林，加入集合A中的安全边总是图中连接两个不同连通分支的最小权边。prim算法中，集合A仅形成单颗树，添加入集合A的安全边总是连接树与一个不在树中的顶点的最小权边。

kruskal在图G（v,e）上的运行时间取决于不相交集合数据结构是如何实现的，模板中采用路径优化的并查集，时间复杂度为O（1）。然后对时间复杂度有影响的就是对边的排序，其最终时间复杂度O（E lgV）；

prim算法适用于边多的，反之为kruskal算法。鉴于kruskal代码的简单易操作，例题解法均为kruskal算法。

Kruskal伪代码：

（1）对所有的边从小到大排序

（2）while(n>1) do{

取权值最小的边（u，v）；

if（u，v不连通）{

将（u，v）加入T；

n--；

}

将边（u，v）从集合E中删除；

}

其中判断两点是否连通可使用并查集

模板：kruskal模板代码

例题及扩展：（全部做完就可以成为入门菜鸟了）

基础例题：

常用套路：n个结点的最小生成树由n-1条边构成，基础题一般会提前连接好一些点，将这些点加入并查集并计算还需加入多少边即可

难度：easy

题意：构建最小生成树，会给出一些已经连接好的点。

解析：将给出的已连接点提前加入并查集，计算还需加入多少条边才能构成最小生成树，然后加边即可。

代码：HDU-3371 Connect the cities

难度：easy

题意：构建最小生成树，使得生成树的最长边减去最短边所得的值最小。

解析：对于所有的边从小到大排序，每次枚举一个区间【L,R】，区间长度为n-1，比较每次的结果求最小值

代码：UVA 1395 Slim Span

难度：medium

题意：给一张图和多个子网，子网已经连通且花费固定，求把图连通的最小花费）

解析：运用子集生成枚举子网，每次将子网中的点提前加入并查集，计算还需加入多少条边才能构成最小生成树，再构建               生成树，比较每一次的结果取最小值

代码：UVA 1151 Buy or Build

继续学习一些概念：

（1）切割性质。假设所有边权均不相同。设S为非空也非全集的V的子集，边e是一个端点在S中，一个不在的边中权值最小的，则图所有的生成树都包含e

（2）回路性质。假设所有边权均不相同。设C为图中的任意回路，边e是C上权值最大的边，则图所有的生成树不包含e。

增量最小生成树：从包含n个点的空图开始，依次加入m条带权边。每加入一条边输出当前图的最小生成树的权值（不连通输出无解）每次求解完整的最小生成树的时间复杂度为O（m^2logn），显然不行。

可行节点数到达n-1时刚好构成一个最小生成树，后面继续加边则根据回路性质，加入边e（u，v）时，找到u到v的唯一路径上权值最大的边，与e进行比较，删除权值较大的边把其他所有边删除。

最小瓶颈生成树：给出带权无向图，求一颗生成树，使其最大边权尽可能小。（就是最小生成树）

最小瓶颈路：给出带权无向图，求u到v的一条路径，使得路径上的最长边尽量短。求最小生成树，起点终点都在树上的唯一路径就是要找的路径（uva10048）

最小瓶颈路最大边长：求出最小生成树，用dfs将其转化为有根树，计算maxcost【u】【v】，从v出发访问一个新节点u时，考虑所有已经访问过的结点x maxcost【x】【u】=max（maxcost【x】【v】，maxcost【v】【u】），复杂度为O（n^2）

次小生成树：如果最小生成树不唯一，则次小生成树的权值与最小生成树相同。

枚举要加入哪一条新边，最小生成树加入边u-v后，图中会出现一条回路，所以要删除的边在最小生成树u到v的路径上，而且是这条路径的最长边。即次小生成树一点可以由最小生成树加一条边，删去一条边得到。

所以只需要按照“每对结点间的最小瓶颈路”求出每对结点在最小生成树唯一路径上的最长边maxcost【u】【v】

生成树变种类型的问题：

难度：medium easy

题意：给出网络和某些特定的点，删除网络上的边使得这些特定点之间两两互不不连通，且花费最小。

解析：构建最大生成树（边按从大到小排序后执行kruskal算法），当一条边的两端点都是给定的点时，花费加上这条边，             反之加入最大生成树。最后得到的是多个包含一个给定点的最大生成树（一个端点也可以看做），最大生成树之间               不相连，自己思考一下为什么达到了题目的条件)

代码：HDU-4313 Matrix

难度：medium

题意：城市有人口总数，城市之间有道路，将城市连接起来的花费为B。你可以免费连接两个城市，免费连接的两个城市人             口之和为A。找一个使得A/B最大的方案

解析：先求出最小生成树，枚举u，v并删除最小生成树中u，v连接路径上边长最长的边，比较没种情况的结果

代码：UVALive - 5713 Qin Shi Huang's National Road System