非线性方程求根方法—

1.1 非线性方程

非线性方程的一般形式： f(x)=0
代数方程： f(x) = a0 + a1x + …… +anx^n（an≠0）
超越方程：f(x)中含三角函数、指数函数、或其他超越函数
用数值方法求解非线性方程的步骤：
找出有根区间：只含一个实根的区间称隔根区间
近似根的精确化：从隔根区间内的一个或多个点出发，逐次逼近，寻求满足精度的根的近似值

1.2 二分法

介值定理：设函数f(x)在区间[a, b]连续，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a, b] 内至少有一个根。
二分法的基本思想
a. 假定 f(x) = 0 在 [a, b] 内有唯一单实根x* ，考察有根区间[a, b]
b. 取中点 x0 = (a+b)/2 ，若 f(x0) = 0，则 x* = x0 ，否则——若 f(x0)f(a)>0，则x在x0右侧，令 a1 = x0， b1 = b ; 若 f(x0)f(a)<0，则x在x0左侧，令 a1 = a， b1 = x0
c. 以 [a1,b1] 为新的隔根区间，且仅为 [a, b] 的一半，对 [a1,b1] 重复前过程，得新的隔根区间 [a2,b2]，如此二分下去，得一系列隔根区间：……⊂[ak, bk]⊂……⊂[a2, b2]⊂[a1, b]⊂[a , b]，其中每个区间都是前一区间的一半，故 [ak,bk] 的长度：bk - ak = (b - a)/2^k
d. 当k趋于无穷时长度趋于0，即若二分过程无限继续下去，这些区间最后必收敛于一点x* ，即方程的根
二分法的收敛定理：设x为方程 f(x) = 0 在 [a, b] 内唯一根，且 f(x) 满足 f(a)f(b)<0，则由二分法产生的第n个区间 [an,bn] 的中点 xn 满足不等式：|xn - x| ≤ (b - a)/2^(n + 1)。

1.3 二分法的代码实现（matlab）

用二分法求方程exp(-x)-sin(pi*x/2)=0在区间[0,1]内的根，要求误差不超过2^-5

f = inline('exp(-x) - sin(pi*x/2)');
a = 0; b = 1; n = 0; er0 = 2^(-5);
fa = f(a); fb = f(b); er = b-a;
while er>er0c = (a+b)/2;fc = f(c);if fa*fc<0b = c;elsea = c;fa = fc;enddisp([a,b]);er = b - a;k = k + 1
end

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