前言

本篇学习机械臂的正运动学，MDH法。

关节与连杆

关节joint，连杆link，是机械臂的基本组成结构。

关节包括转动关节和移动关节，一般仅有一个自由度。

一个关节把相邻两连杆连接，n个关节把n+1个连杆连接起来，具有n个自由度。

编号

把固定基座作为第0个连杆，机械臂末端的连杆作为第n个连杆。

连杆参数

连杆的描述

两个相邻关节轴之间的公垂线的长度，称为连杆的长度。

两个相邻关节轴之间形成的角度，称为连杆的转角。

上图中，连杆i-1的长度是其近端关节轴i-1与远端关节轴i之间的公垂线长度ai−1a_{i-1}ai−1​

连杆i-1的转角是其近端关节轴i-1与远端关节轴i形成的角度αi−1\alpha_{i-1}αi−1​，至于角度的正负号，可以根据后面建立坐标系时再确定。

连杆连接的描述

两个相邻连杆之间的距离，称为连杆偏距。

两个相邻连杆绕公共关节轴旋转的夹角，称为关节角。

上图中，关节i是连杆i-1和连杆i的公共关节。

由于实际的连杆是弯曲的，可以将公垂线段ai−1a_{i-1}ai−1​和aia_iai​ 看作代替曲连杆的直连杆i-1,i。

直连杆i-1,i之间的距离是关节i的连杆偏距did_idi​

直连杆i-1沿关节轴i旋转到直连杆i的角度是关节角θi\theta_iθi​

关节变量

一个连杆可以使用上面的连杆长度、连杆转角、连杆偏距、关节角四个参数确定。

对于转动关节，关节角可变，另三个参数不变。

对于移动关节，连杆偏距可变，另三个参数不变。

可变的参数称为关节变量。

连杆坐标系

连杆坐标系用于描述相邻连杆之间的相对位置关系。

连杆坐标系编号与连杆编号相同，称为{i}\{i\}{i}。

中间连杆坐标系建立

为连杆i建立坐标系：

以关节轴i作为Z轴，以连杆i与Z轴的交点作为原点，以连杆i作为X轴指向关节轴i+1，以右手定则确定Y轴。

例外：如果连杆i的长度ai=0a_i=0ai​=0（此时连杆i,i+1的Z轴相交），以交点作为原点，以两个Z轴所在平面的垂线作为X轴，方向可以有两种选择，而αi\alpha_iαi​的符号就由X轴方向决定。

每个坐标轴的建立都要满足右手定则。

上图中，可以按这个顺序来建立坐标系：

首先找到所有的关节轴i-1,i

然后确定坐标系{i−1}\{i-1\}{i−1}，以关节轴作为Z^i−1\hat Z_{i-1}Z^i−1​，直连杆i-1作为X^i−1\hat X_{i-1}X^i−1​，再右手定则确定Y^i−1\hat Y_{i-1}Y^i−1​。

然后确定坐标系{i}\{i\}{i}。

首尾连杆坐标系建立

对于首尾连杆0,n，有特殊的建系方法。

首坐标系

坐标系{0}\{0\}{0}在基座上，一般作为参考系。

第一个关节变量为0时，规定坐标系{0}\{0\}{0}于{1}\{1\}{1}重合。

当第一个关节为转动关节，d1=0d_1=0d1​=0;第一个关节为移动关节，θ1=0\theta_1=0θ1​=0

尾坐标系

坐标系{n}\{n\}{n}的原点和x轴方向可以任意选取，但要尽量使得连杆参数为0。

连杆参数与连杆坐标系

按照上面的建系方法，可以把连杆参数重新定义：

• aia_iai​连杆长度：沿X^i\hat X_iX^i​，从Z^i\hat Z_iZ^i​移动到Z^i+1\hat Z_{i+1}Z^i+1​的距离
• αi\alpha_iαi​连杆扭转角：绕X^i\hat X_iX^i​轴，把Z^i\hat Z_iZ^i​旋转到Z^i+1\hat Z_{i+1}Z^i+1​的角度
• did_idi​连杆偏距：沿Z^i\hat Z_iZ^i​，从X^i−1\hat X_{i-1}X^i−1​移动到X^i1\hat X_{i1}X^i1​的距离
• θi\theta_iθi​关节角：绕Z^i\hat Z_iZ^i​轴，把X^i−1\hat X_{i-1}X^i−1​旋转到X^i\hat X_{i}X^i​的角度

设定ai>0a_i>0ai​>0，其它参数可正可负。

上面建立连杆坐标系和连杆参数的方式称为MDH法(Modified Denavit–Hartenberg)。

DH法建立的坐标系并不是唯一的。

连杆变换

连杆参数可用于相邻杆之间的相对位姿计算。

上图中，考虑坐标系{i−1},{i}\{i-1\},\{i\}{i−1},{i}之间的变换i−1iT^i_{i-1}Ti−1i​T，建立中间坐标系{P},{Q},{R}\{P\},\{Q\},\{R\}{P},{Q},{R}，则有：
ii−1T=Ri−1TQRTPQTiPT^{i-1}_iT = \ ^{i-1}_RT \ ^R_{Q}T \ ^Q_PT \ ^P_{i}T ii−1​T= Ri−1​T QR​T PQ​T iP​T
上面的变换，可以看作是把X^i\hat X_iX^i​变换为X^i−1\hat X_{i-1}X^i−1​，则有：
ii−1T=RX(αi−1)DX(ai−1)RZ(θi)DZ(di)^{i-1}_iT = R_X(\alpha_{i-1})D_X(a_{i-1})R_Z(\theta_i)D_Z(d_i) ii−1​T=RX​(αi−1​)DX​(ai−1​)RZ​(θi​)DZ​(di​)
或者将每个中间坐标系的变换都写出来：
iPT=[10000100001di0001]PQT=[cos⁡θ1−sin⁡θ100sin⁡θ1cos⁡θ10000100001]QRT=[1000010ai−100100001]Ri−1T=[10000cos⁡αi−1−sin⁡αi−100sin⁡αi−1cos⁡αi−100001]^P_iT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \quad \\ \ ^Q_PT = \begin{bmatrix} \cos \theta_1 & -\sin \theta_1 & 0 & 0 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \quad \\ \ ^R_QT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & a_{i-1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \quad \\ \ ^{i-1}_RT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha_{i-1} & -\sin \alpha_{i-1} & 0 \\ 0 & \sin \alpha_{i-1} & \cos \alpha_{i-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \quad \\ iP​T=⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​00di​1​⎦⎥⎥⎤​ PQ​T=⎣⎢⎢⎡​cosθ1​sinθ1​00​−sinθ1​cosθ1​00​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​ QR​T=⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​0ai−1​01​⎦⎥⎥⎤​ Ri−1​T=⎣⎢⎢⎡​1000​0cosαi−1​sinαi−1​0​0−sinαi−1​cosαi−1​0​0001​⎦⎥⎥⎤​
得到ii−1T^{i-1}_iTii−1​T的一般形式：

MDH法使用步骤

1. 找到所有关节轴；
2. 按顺序依次建立中间连杆的坐标系；
3. 确定首尾坐标系；
4. 写出DH参数；
5. 计算正运动学矩阵。

后记

本篇是机器人学中的正运动学，采用的是MDH法。

后续会有Matlab示例编程。

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