1. 前言

柔性臂是当前机器人领域一个比较热的研究方向，国内外高校如MIT、Stanford、JHU和我校、上交、中科大、北航等等都有做研究。大致可以分为三类：气驱/绳驱，超弹性材料，智能材料（DE/EAP/SMA）。大多也集中在仿生方面的研究，比如象鼻型、章鱼臂型等等，属于机械/生物/计算机/电子/控制（强行加上我们控制）的交叉领域。
这周主要学习了Clemson University早年研究的一种气驱型柔性臂的论文¹。基本上白天看论文，晚上动手自己做硅胶构件，俨然和控制越来越远。。。。。。

2. 模型分类

建立这类气驱型柔性臂的模型具有一定复杂性，因为要完整精确地描述横向/纵向肌肉的运动和相互影响的机理，不过这论文都是十多年前的了，现在嘛。。。。。。

2.1 Complex, fully soft model

完整地描述肌纤维的运动及对其他肌纤维的影响，理想。。理想。。。一种oft model是把章鱼臂看作一系列定容圆柱，每个圆柱能变直径变长度；另一种是看作一系列的腔管，能在两个方向上弯曲。
虽然这类模型在解释运动机理上很好，但是soft model的主要问题：是难以用于控制柔性臂到达期待位姿，以及难以再现完全柔软而定容的执行器。

2.2 Cylindrical extension model

把整个柔性臂分解成一系列变直径的部分首尾连接起来。这种模型描述运动机理效果比较好。具体地说，也是看作一系列定容圆柱，通过对生物肌肉实际测量得到一些参数，能够很好地预测章鱼臂在一次捕食行为中肌肉的动作，但是这种模型，按照原文说，主要描述了单关节臂杆的行为，而不是整个完整机械臂的功能。（有一点点懵逼，论文也没细讲）

2.3 Circular curvature model

在一定的假设条件下，能更好地阐述章鱼臂的运动机理，也是实际应用最多的一种。假设机械臂以恒定曲率弯曲且不能扭转（这假设下当然更容易分析了。。）当然好处也很明显，可以化简为一系列旋转关节和位移关节，直接用DH参数法，经典的机器人控制理论和算法也可以套用。Clemson University的Elephant Trunk manipulator和Air-Octor single manipulator的分析都是基于这种模型。

接下来分析这个Air-Octor single manipulator的正运动学模型。

3. 正运动学模型

3.1 整体分析

这个柔性臂由中间的软管和外部保护软管以及三个驱动的绳索组成。然后三个弯曲自由度，一个收缩自由度，也就是四自由度的柔性臂。

正运动学模型就是已知三个绳索的长度l1l_1l1 和 l2l_2l2 和 l3l_3l3，求解弯曲的角度 ϕ\phiϕ 和曲率 kϕk_{\phi}kϕ 以及弯曲部分长度 sss。论文提供的算法分两部分，先求解定义的一个长度 rir_iri，再求出 ϕ\phiϕ 和 kϕk_{\phi}kϕ 以及 sss。

3.2 求解 rir_iri

考虑上图这一段柔性臂，通过绳索1的这一点给出一个垂直于绳索2和绳索3的平面。由这个平面就得到三个用于求解 rir_iri 的中间变量：
h1=0h_1 = 0h1=0 （平面在绳索1那个点定义的，所以是0）
h2=l2−l12nh_2 = \cfrac{l_2 - l_1}{2n}h2=2nl2−l1
h3=l3−l12nh_3 = \cfrac{l_3 - l_1}{2n}h3=2nl3−l1
n是把整个柔性臂等分的段数。

得到了h1h_1h1、h2h_2h2、h3h_3h3后，接下来求 hch_chc，也就是柔性臂截面的三个绳索构成的等边三角形中点距离设定平面的距离。由上图可以看出， hch_chc 是h2mh_{2m}h2m 和 h3mh_{3m}h3m 的平均值。那么 h2mh_{2m}h2m 和 h3mh_{3m}h3m 怎么求解呢？

参考上图，根据相似三角形的几何关系就可以求出
h2m=l2−l13nh_{2m} = \cfrac{l_2 - l_1}{3n}h2m=3nl2−l1
h3m=l3−l13nh_{3m} = \cfrac{l_3 - l_1}{3n}h3m=3nl3−l1
相应地就可以求出hch_chc：
hc=l3+l2−2l16nh_{c} = \cfrac{l_3 +l_2 - 2l_1}{6n}hc=6nl3+l2−2l1
接下来我们再看下图

上图完整地描述了这一段弯曲的柔性臂的情况，根据描红的一部分，我们可以得到如下等腰三角形

dhc=r1hc+l12n\cfrac{d}{h_c} = \cfrac{r_1}{h_c + \cfrac{l_1}{2n}}hcd=hc+2nl1r1

这样就可以推出r1：

r1=d(l1+l2+l3)l3+l2−2l1r_1 = \cfrac{d(l_1 + l_2 + l_3)}{l_3 + l_2 - 2l_1}r1=l3+l2−2l1d(l1+l2+l3)

那么r2r_2r2 和 r3r_3r3 呢？论文直接给出结果了，不过还是希望大家自己能推导一下。
这是我自己推导画的图，手残轻喷。要注意的是三根绳索长度不同，这个斜的截面它不是设定平面直接绕绳索1那个点所在的横直线直接旋转可以得到的，是一个。。有点别扭的状态，可以想象一下。

由上图易得。。真的是容易得到，如果你认真分析了的话（滑稽）：

dr2=hc−h2l12n+hc\cfrac{d}{r_2} = \cfrac{h_c - h_2}{\cfrac{l_1}{2n} + h_c}r2d=2nl1+hchc−h2

dr3=h3−hcl12n+hc\cfrac{d}{r_3} = \cfrac{h_3 - h_c}{\cfrac{l_1}{2n} + h_c}r3d=2nl1+hch3−hc

整理后可得

r2=d(l1+l2+l3)l3+l1−2l2r_2 = \cfrac{d(l_1 + l_2 + l_3)}{l_3 + l_1 - 2l_2}r2=l3+l1−2l2d(l1+l2+l3)

r3=d(l1+l2+l3)l1+l2−2l3r_3 = \cfrac{d(l_1 + l_2 + l_3)}{l_1 + l_2 - 2l_3}r3=l1+l2−2l3d(l1+l2+l3)

3.3 求解 ϕ\phiϕ 和 kϕk_{\phi}kϕ

r1r_1r1、r2r_2r2、r3r_3r3看作向量形式的话：
r1=r1∠90ο\mathrm{r_1} = r_1\angle{90^\omicron}r1=r1∠90ο
r2=r2∠210ο\mathrm{r_2} = r_2\angle{210^\omicron}r2=r2∠210ο
r3=r3∠−30ο\mathrm{r_3} = r_3\angle{-30^\omicron}r3=r3∠−30ο
具体如下图

我们用一个基变换矩阵 BBB 来求得正交基 ryr_yry 和 ryr_yry：

B=[cos⁡(210ο)sin⁡(210ο)cos⁡(−30ο)sin⁡(−30ο)]B = \begin{bmatrix} \cos{(210^\omicron)} & \sin{(210^\omicron)} \\ \cos{({-30}^\omicron)} & \sin{({-30}^\omicron)} \\ \end{bmatrix}B=[cos(210ο)cos(−30ο)sin(210ο)sin(−30ο)]

rx=r3−r23r_x = \cfrac{r_3 - r_2}{\sqrt{3}}rx=3r3−r2

ry=−r2−r3r_y = -r_2 -r_3ry=−r2−r3

然后我们就可以得到 （其实这部分不明白为什么这样就得到了 ϕ\phiϕ，希望有看到的朋友能帮忙解释一下）

ϕ=tan⁡−1(ryrx)\phi = \tan^{-1}\left(\cfrac{r_y}{r_x}\right)ϕ=tan−1(rxry)

rϕ=rx2+ry2r_\phi = \sqrt{{r_x}^2 + {r_y}^2}rϕ=rx2+ry2 （注意曲率 kϕ=1rϕk_\phi = \cfrac{1}{r_\phi}kϕ=rϕ1）

最后整理消除中间变量得到

kϕ=2l12+l22+l32−l1l2−l2l3−l1l1d(l1+l2+l3)k_\phi = 2\cfrac{\sqrt{{l_1}^2 + {l_2}^2 + {l_3}^2 -l_1l_2 - l_2l_3 -l_1l_1}}{d\left(l_1 + l_2 + l_3\right)}kϕ=2d(l1+l2+l3)l12+l22+l32−l1l2−l2l3−l1l1

ϕ=tan⁡−1(33l3+l2−2l1l2−l3)\phi = \tan^{-1}\left(\cfrac{\sqrt3}{3}\cfrac{l_3 + l_2 - 2l_1}{l_2 - l_3}\right)ϕ=tan−1(33l2−l3l3+l2−2l1)

3.4 求解 sss

最后我们再求出柔性臂的长度，因为前面我们是分成了n份来分析的。
根据前面的分析我们可以得到

lc=l1+l2+l33l_c = \cfrac{l_1 + l_2 + l_3}{3}lc=3l1+l2+l3

再根据上图可以得到关系式如下：

sin⁡β2=lc2n1kϕ\sin\cfrac{\beta}{2} = \cfrac{\cfrac{l_c}{2n}}{\cfrac{1}{k_\phi}}sin2β=kϕ12nlc

解得

s=2nkϕsin⁡−1(lckϕ2n)s = \cfrac{2n}{k_\phi}\sin^{-1}\left(\cfrac{l_ck_\phi}{2n}\right)s=kϕ2nsin−1(2nlckϕ)

最后整理消除中间变量得

s=nd(l1+l2+l3)l12+l22+l32−l1l2−l2l3−l1l3⋅sin⁡−1(l12+l22+l32−l1l2−l2l3−l1l33nd)s = \cfrac{nd(l_1 + l_2 + l_3)}{\sqrt{{l_1}^2 +{l_2}^2 + {l_3}^2 - l_1l_2 - l_2l_3 - l_1l_3}} \cdot \sin^{-1}\left( \cfrac{\sqrt{{l_1}^2 +{l_2}^2 + {l_3}^2 - l_1l_2 - l_2l_3 - l_1l_3}}{3nd}\right)s=l12+l22+l32−l1l2−l2l3−l1l3nd(l1+l2+l3)⋅sin−1(3ndl12+l22+l32−l1l2−l2l3−l1l3)

3.5 归纳整理

定义 g:=l12+l22+l32−l1l2−l2l3−l1l3g := {l_1}^2 +{l_2}^2 + {l_3}^2 - l_1l_2 - l_2l_3 - l_1l_3g:=l12+l22+l32−l1l2−l2l3−l1l3，则z正运动学模型可归纳为

kϕ=2gd(l1+l2+l3)k_\phi = 2\cfrac{\sqrt g}{d(l_1 + l_2 + l_3)}kϕ=2d(l1+l2+l3)g

ϕ=tan⁡−1(33l3+l2−2l1l2−l3)\phi = \tan^{-1}\left(\cfrac{\sqrt3}{3}\cfrac{l_3 + l_2 - 2l_1}{l_2 - l_3}\right)ϕ=tan−1(33l2−l3l3+l2−2l1)

s=nd(l1+l2+l3)g⋅sin⁡−1(g3nd)s = \cfrac{nd(l_1 + l_2 + l_3)}{\sqrt g} \cdot \sin^{-1}\left( \cfrac{\sqrt g}{3nd}\right)s=gnd(l1+l2+l3)⋅sin−1(3ndg)

注意上式中lim⁡g→0s=l1+l2+l33\lim\limits_{g \to 0}s = \cfrac{l_1 + l_2 + l_3}{3}g→0lims=3l1+l2+l3

4. 总结

以上就是一种气驱型柔性臂的正运动学推导，其实可以看到所运用到的数学工具除了基变换矩阵那里以外，其他的基本上就是高中几何代数就可以解决的……所以说有些东西乍一看上去仿佛很艰深晦涩，可是钻研进去就会发现其实也并不很难，甚至还有点意思。另外一点收获就是看论文的时候很容易看人家推导顺着思路就觉得，哦，对，就这么推，很简单，就好比做题的时候看着参考答案自然觉得很简单，但是合上答案自己做题就发现不是那么一回事，所以看论文想要消化作者的精髓，自己推导公式是必不可少的，再一点就是要反复读啦。

B. Jones, W. McMahan, and I.D. Walker, “Design and Analysis of a Novel Pneumatic Manipulator”, to appear, 3rd IFAC Symposium on Mechatronic Systems, Sydney, Australia, September 2004. ↩︎

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中正平和的机器人学笔记——6. 一种气驱型柔性臂的正运动学模型

1. 前言

2. 模型分类

2.1 Complex, fully soft model

2.2 Cylindrical extension model

2.3 Circular curvature model

3. 正运动学模型

3.1 整体分析

3.2 求解 rir_iri

3.3 求解 ϕ\phiϕ 和 kϕk_{\phi}kϕ

3.4 求解 sss

3.5 归纳整理

4. 总结

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2.3 Circular curvature model

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3.1 整体分析

3.2 求解 rir_iri​

3.3 求解 ϕ\phiϕ 和 kϕk_{\phi}kϕ​

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