Stolz定理及其证明

Stolz定理是一种用于求分数形式数列极限的方法，要求是分母为（从某项起）严格增加的无穷大量，定理形式如下：

设{yn}\{y_n\}{yn}是严格单调增加的正无穷大量，且
lim⁡n→∞xn−xn−1yn−yn−1=a,(−∞≤a≤∞)\lim_{n\to \infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=a,\quad(-\infty \le a\le \infty) n→∞limyn−yn−1xn−xn−1=a,(−∞≤a≤∞)
则有
lim⁡n→∞xnyn=a.\lim_{n\to \infty}\frac{x_n}{y_n}=a. n→∞limynxn=a.

证明：先证明a=0a=0a=0的情况。由于
lim⁡n→∞xn−xn−1yn−yn−1=0\lim_{n\to \infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=0 n→∞limyn−yn−1xn−xn−1=0
所以∀ε,∃N\forall \varepsilon,\exists N∀ε,∃N，使得∀n>N\forall n>N∀n>N，有∣xn−xn−1∣<ε∣yn−yn−1∣=ε(yn−yn−1)|x_n-x_{n-1}|<\varepsilon|y_n-y_{n-1}|=\varepsilon(y_n-y_{n-1})∣xn−xn−1∣<ε∣yn−yn−1∣=ε(yn−yn−1)。可以写出如下一些式子：
∣xn−xn−1∣<ε(yn−yn−1),∣xn−1−xn−2∣<ε(yn−1−yn−2),⋮∣xN+2−xN+1∣<ε(yN+2−yN+1),∣xN+1−xN∣<ε(yN+1−yN).\begin{aligned} |x_n-x_{n-1}|<&\varepsilon(y_n-y_{n-1}),\\ |x_{n-1}-x_{n-2}|<&\varepsilon(y_{n-1}-y_{n-2}),\\ \vdots\\ |x_{N+2}-x_{N+1}|<&\varepsilon (y_{N+2}-y_{N+1}),\\ |x_{N+1}-x_{N}|<&\varepsilon (y_{N+1}-y_N). \end{aligned} ∣xn−xn−1∣<∣xn−1−xn−2∣<⋮∣xN+2−xN+1∣<∣xN+1−xN∣<ε(yn−yn−1),ε(yn−1−yn−2),ε(yN+2−yN+1),ε(yN+1−yN).
由于∣xn−xN∣=∣(xn−xn−1)+(xn−1−xn−2)+⋯+(xN+1−xN)∣|x_n-x_{N}|=|(x_n-x_{n-1})+(x_{n-1}-x_{n-2})+\cdots+(x_{N+1}-x_N)|∣xn−xN∣=∣(xn−xn−1)+(xn−1−xn−2)+⋯+(xN+1−xN)∣，所以
∣xn−xN∣=∣(xn−xn−1)+(xn−1−xn−2)+⋯+(xN+1−xN)∣≤∣xn−xn−1∣+∣xn−1−xn−2∣+⋯+∣xN+1−xN∣<ε[(yn−yn−1)+(yn−1−yn−2)+⋯+(yN+1−yN)]=ε(yn−yN).\begin{aligned} |x_n-x_N|=&|(x_n-x_{n-1})+(x_{n-1}-x_{n-2})+\cdots+(x_{N+1}-x_N)|\\ \le&|x_n-x_{n-1}|+|x_{n-1}-x_{n-2}|+\cdots+|x_{N+1}-x_N|\\ <&\varepsilon[(y_n-y_{n-1})+(y_{n-1}-y_{n-2})+\cdots+(y_{N+1}-y_N)]\\ =&\varepsilon(y_n-y_N). \end{aligned} ∣xn−xN∣=≤<=∣(xn−xn−1)+(xn−1−xn−2)+⋯+(xN+1−xN)∣∣xn−xn−1∣+∣xn−1−xn−2∣+⋯+∣xN+1−xN∣ε[(yn−yn−1)+(yn−1−yn−2)+⋯+(yN+1−yN)]ε(yn−yN).
不等式两边同时除去yn>0y_n>0yn>0，得到
∣xnyn−xNyn∣<ε(1−yNyn)<ε.\left|\frac{x_n}{y_n}-\frac{x_N}{y_n}\right|<\varepsilon\left(1-\frac{y_N}{y_n}\right)<\varepsilon. ∣∣∣∣ynxn−ynxN∣∣∣∣<ε(1−ynyN)<ε.
由于xN,yNx_N,y_NxN,yN都是常数，所以存在一个N′N'N′，当n>N′n>N'n>N′时有xN/yn<εx_N/y_n<\varepsilonxN/yn<ε，所以
∣xnyn∣<2ε,lim⁡n→∞xnyn=0.\left|\frac{x_n}{y_n}\right|<2\varepsilon,\quad \lim_{n\to \infty}\frac{x_n}{y_n}=0. ∣∣∣∣ynxn∣∣∣∣<2ε,n→∞limynxn=0.
这里证明了a=0a=0a=0的情况，如果a≠0a\ne 0a=0但为有限数，则令
xn′=xn−ayn,x_n'=x_n-ay_n, xn′=xn−ayn,
则
lim⁡n→∞xn′−xn−1′yn−yn−1=lim⁡n→∞xn−xn−1−a(yn−yn−1)yn−yn−1=lim⁡n→∞xn−xn−1yn−yn−1−a=0.\lim_{n\to \infty}\frac{x_n'-x_{n-1}'}{y_n-y_{n-1}}=\lim_{n\to \infty}\frac{x_n-x_{n-1}-a(y_{n}-y_{n-1})}{y_{n}-y_{n-1}}=\lim_{n\to \infty}\frac{x_n -x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}-a=0. n→∞limyn−yn−1xn′−xn−1′=n→∞limyn−yn−1xn−xn−1−a(yn−yn−1)=n→∞limyn−yn−1xn−xn−1−a=0.
所以由a=0a=0a=0的情况直接推得
lim⁡n→∞xn′yn=lim⁡n→∞xn−aynyn=lim⁡n→∞xnyn−a=0,lim⁡n→∞xnyn=a.\lim_{n\to \infty}\frac{x_n'}{y_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{x_n-ay_n}{y_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{x_n}{y_n}-a=0,\quad \lim_{n\to \infty}\frac{x_n}{y_n}=a. n→∞limynxn′=n→∞limynxn−ayn=n→∞limynxn−a=0,n→∞limynxn=a.
对于a=+∞a=+\inftya=+∞，即
lim⁡n→∞xn−xn−1yn−yn−1=+∞,\lim_{n\to \infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=+\infty, n→∞limyn−yn−1xn−xn−1=+∞,
那么存在一个NNN，使得∀G>0,∀n>N\forall G>0,\forall n>N∀G>0,∀n>N，有
xn−xn−1yn−yn−1>G,\frac{x_n-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}>G, yn−yn−1xn−xn−1>G,
取G=1G=1G=1，至少有
xn−xn−1>yn−yn−1.x_n-x_{n-1}>y_n-y_{n-1}. xn−xn−1>yn−yn−1.
这说明xnx_nxn是严格增加的，并且类似地有
xn−xn−1>yn−yn−1,xn−1−xn−2>yn−1−yn−2,⋮xN+1−xN>yN+1−yN.\begin{aligned} x_n-x_{n-1}>&y_n-y_{n-1},\\ x_{n-1}-x_{n-2}>&y_{n-1}-y_{n-2},\\ \vdots\\ x_{N+1}-x_N>&y_{N+1}-y_N. \end{aligned} xn−xn−1>xn−1−xn−2>⋮xN+1−xN>yn−yn−1,yn−1−yn−2,yN+1−yN.
累加就得到xn−xN>yn−yNx_n-x_N>y_n-y_Nxn−xN>yn−yN，令xN−yN=Cx_N-y_N=CxN−yN=C，则xn>yn−Cx_n>y_n-Cxn>yn−C，由于yny_nyn是无穷大量，CCC是常数，所以xnx_nxn也是无穷大量。当a=−∞a=-\inftya=−∞时一样可以类似证明。

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