概率论与数理统计中的算子半群第一讲 Banach-Steinhaus定理1 Baire‘s Category与Banach-Steinhaus定理的证明

概率论与数理统计中的算子半群第一讲 Banach-Steinhaus定理1 Baire's Category与Banach-Steinhaus定理的证明

Baire's Category Theorem
Banach-Steinhaus定理(uniform boundedness principle)

写在前面

在随机微分方程那个系列中，我们在讨论Markov family的时候引入了Markov family的算子半群，这是一个在概率论与数理统计的理论中非常强大的分析工具。在随机分析中，算子半群可以用来分析Markov过程与Levy过程的性质，进而分析某些随机微分方程的解的构造；在统计计算的理论中，算子半群可以用来表达一种MCMC类的算法，这样就能把算法的收敛与误差分析化归为对算子半群的范数的讨论。所以我打算单独开一个系列，介绍概统中的算子半群。

Baire’s Category Theorem

Baire’s Category Theorem是泛函分析中的经典结果，我们先引入这个工具。

nowhere dense
(X,∥⋅∥)(X,\left\| \cdot \right\|)(X,∥⋅∥)是一个赋范线性空间，SSS是它的子集；
∀x∈X,ϵ>0\forall x \in X,\epsilon>0∀x∈X,ϵ>0，B(x,ϵ)={y∈X:∥y−x∥<ϵ}B(x,\epsilon)=\{y \in X:\left\| y -x \right\|<\epsilon \}B(x,ϵ)={y∈X:∥y−x∥<ϵ}被称为XXX中的open ball；
∀x∈X,ϵ>0\forall x \in X,\epsilon>0∀x∈X,ϵ>0，Bˉ(x,ϵ)={y∈X:∥y−x∥≤ϵ}\bar B(x,\epsilon)=\{y \in X:\left\| y -x \right\|\le \epsilon \}Bˉ(x,ϵ)={y∈X:∥y−x∥≤ϵ}被称为XXX中的closed ball；
称SSS nowhere dense if and only if (in short, iff) SSS的闭包(clScl SclS)不包含任何open ball，另一种表述为任意open ball BBB都有一个open ball子集B′B'B′，使得S∩B′=ϕS \cap B' = \phiS∩B′=ϕ；

Baire first category set
在拓扑空间中，能被可列个nowhere dense集合的并表示的集合被称为Baire first category set；

Baire second category set
在拓扑空间中，能被可列个nowhere dense集合或者开集的并表示的集合被称为Baire second category set，或者不是Baire first category set的集合就是Baire second category set；

Baire’s Category Theorem
Banach空间不能表示成可列个nowhere dense集合的并（也就是说Banach空间不是Baire first category set，它是Baire second category set）

证明思路
用反证法，假设XXX是Banach空间，{Sn}\{S_n\}{Sn}是可列个nowhere dense集合，并且
X=⋃n∈NSnX = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} S_nX=n∈N⋃Sn

假设B0=B(0,1)B_0=B(0,1)B0=B(0,1)，因为S1S_1S1 nowhere dense，于是∃B1⊂B0\exists B_1 \subset B_0∃B1⊂B0，B1B_1B1是open ball并且B1∩S1=ϕB_1 \cap S_1 = \phiB1∩S1=ϕ；我们可以假设B1B_1B1的半径小于1/21/21/2，如果B1B_1B1的半径大于1/21/21/2，我们总是可以找到一个更小的open ball与S1S_1S1无交；

重复这个过程，S2S_2S2 nowhere dense，于是存在B1B_1B1的open ball子集B2B_2B2使得S2S_2S2与B2B_2B2无交且B2B_2B2的半径小于1/31/31/3；

对于一般情形，存在半径小于1n+2\frac{1}{n+2}n+21的open ball Bn+1B_{n+1}Bn+1与Sn+1S_{n+1}Sn+1无交；

因为⋃n∈NclBn\bigcup_{n \in \mathbb{N}}cl B_n⋃n∈NclBn非空（为了更加严谨，这个结果需要证明），于是∃x∈clBn,∀n\exists x \in clB_n,\forall n∃x∈clBn,∀n，那么xxx一定也是Banach空间中的点；但是BnB_nBn与SnS_nSn无交，于是xxx不属于任意SnS_nSn，所以
x∉⋃n∈NSnx \notin \bigcup_{n \in \mathbb{N}} S_nx∈/n∈N⋃Sn

这样我们就说明了∃x∈X,x∉⋃n∈NSn\exists x \in X, x \notin \bigcup_{n \in \mathbb{N}} S_n∃x∈X,x∈/⋃n∈NSn，这与X=⋃n∈NSnX=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} S_nX=⋃n∈NSn矛盾。

Banach-Steinhaus定理(uniform boundedness principle)

假设XXX是一个Banach空间，{An}\{A_n\}{An}是可列个XXX上的有界线性算子，∀x∈X\forall x \in X∀x∈X，sup⁡n≥1∥Anx∥\sup_{n \ge 1} \left\| A_nx \right\|supn≥1∥Anx∥有界，则sup⁡n≥1∥An∥\sup_{n \ge 1} \left\| A_n \right\|supn≥1∥An∥有界；

证明思路
定义Sn={x∈X:sup⁡k≥1∥Akx∥≤n}S_n = \{x \in X:\sup_{k \ge 1} \left\| A_kx \right\| \le n\}Sn={x∈X:k≥1sup∥Akx∥≤n}因为有界线性算子等价于连续线性算子，所以AnA_nAn连续，因此SnS_nSn是闭集；并且
X=⋃n≥1SnX = \bigcup_{n \ge 1}S_nX=n≥1⋃Sn

根据Baire’s Category Theorem，SnS_nSn不是Baire first category set，于是存在一个SlS_lSl有closed ball子集Bˉ(x,r)\bar B(x,r)Bˉ(x,r)，考虑y∈Xy \in Xy∈X，引入向量
z=x+r∥y∥y∈Bˉ(x,r)z = x+ \frac{r}{ \left\|y \right\|} y \in \bar B(x,r)z=x+∥y∥ry∈Bˉ(x,r)

则
∥Any∥=∥∥y∥rAnz−∥y∥rAnx∥≤∥y∥r∥Anz∥+∥y∥r∥Anx∥≤2lr∥y∥\left\| A_n y \right\|= \left\| \frac{\left\|y \right\|}{ r}A_n z - \frac{\left\|y \right\|}{ r}A_n x \right\| \le \frac{\left\|y \right\|}{ r}\left\| A_n z \right\|+\frac{\left\|y \right\|}{ r}\left\| A_n x \right\| \le \frac{2l}{r}\left\| y \right\|∥Any∥=∥∥∥∥r∥y∥Anz−r∥y∥Anx∥∥∥∥≤r∥y∥∥Anz∥+r∥y∥∥Anx∥≤r2l∥y∥

因为x,z∈Bˉ(x,r)⊂Slx,z \in \bar B(x,r) \subset S_lx,z∈Bˉ(x,r)⊂Sl，于是
sup⁡n≥1∥An∥≤2lr\sup_{n \ge 1} \left\| A_n \right\| \le \frac{2l}{r}n≥1sup∥An∥≤r2l