写在前面

最近在学习抽象代数，里面的一些定理的证明需要很多初等数论的知识，而本人没上过数论，就只能自学了。下面总结一些置换群的相关定理证明时候需要的数论内容，主要涉及最小公倍数、最大公因数等概念的重要性质。关于整数互素的概念与性质定理我在前面的文章中总结过，有兴趣的朋友可以看下面的两篇文章：

与素数有关的一些性质及证明（一）;
素数的有关性质（二）欧拉函数的一些定理证明与计算;

预备定义

公倍数：两个或多个整数的公有的倍数，称为它们的公倍数。
最小公倍数(Least Common Multiple, lcm)：除000以外最小的一个公倍数，叫做这几个整数的最小公倍数，通常记为[a1,a2,⋯,an][a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n][a1,a2,⋯,an]。
公因数：两个或多个整数的公有的因数，称为它们的公因数。
最大公因数(Greatest Common Divisor, gcd)：几个数的任意一个公因数都能整除ddd，那么称ddd是这几个数的最大公因数，通常记为(a1,a2,⋯,an)(a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n)(a1,a2,⋯,an)。

主要定理

下面总结一下关于最小公倍数的两个定理。

★\bigstar★ [a,b]×(a,b)=ab[a,b]\times(a,b)=ab[a,b]×(a,b)=ab

证明：

设由于ababab是a,ba,\,ba,b的公倍数，而[a,b][a,\,b][a,b]是a,ba,\,ba,b的最小公倍数，所以[a,b]∣ab[a,\,b]\,\big|\,ab[a,b]∣∣ab，所以∃q∈Z\exists\ q\in\mathbb{Z}∃ q∈Z，使得ab=q[a,b]ab=q[a,\,b]ab=q[a,b]，下面需要证qqq是a,ba,\,ba,b的最大公因数，为此需要证qqq满足以下两个条件：

qqq是a,ba,\,ba,b的公因数；
对a,ba,\,ba,b的任一公因数ccc，有c∣qc\,|\,qc∣q；

对条件一，因为ab=q[a,b]ab=q[a,\,b]ab=q[a,b]，所以a=[a,b]b⋅q,b=[a,b]a⋅q{a}=\dfrac{[a,\,b]}{b}\cdot q,\ \ {b}=\dfrac{[a,\,b]}{a}\cdot qa=b[a,b]⋅q, b=a[a,b]⋅q，而显然a∣[a,b],b∣[a,b]a\,\big|\,[a,\,b],\ b\,\big|\,[a,\,b]a∣∣[a,b], b∣∣[a,b]，于是有：

q∣a,q∣bq\,|\,a,\ q\,|\,bq∣a, q∣b，这就得到qqq是a,ba,\,ba,b的公因数。

对条件二，由于c∣a,c∣bc\,|\,a,\ c\,|\,bc∣a, c∣b，所以ac,bc\dfrac{a}{c},\,\dfrac{b}{c}ca,cb均为整数。设
t=abc=a(bc)=b(ac),t=\frac{ab}c=a\left(\frac bc\right)=b\left(\frac ac\right), t=cab=a(cb)=b(ca),
由此得到ttt是a,ba,\,ba,b的公倍数，于是[a,b]∣t[a,\,b]\,\big|\,t[a,b]∣∣t，根据上式ab=q[a,b]ab=q[a,\,b]ab=q[a,b]，有
t[a,b]=abcabq=qc,\frac{t}{[a,\,b]}=\dfrac{\frac{ab}{c}}{\frac{ab}{q}}=\frac{q}{c}, [a,b]t=qabcab=cq,
即得到qc\dfrac qccq为整数，即c∣qc\,|\,qc∣q。

综上，可得到[a,b]×(a,b)=ab[a,b]\times(a,b)=ab[a,b]×(a,b)=ab。

推广

类似地，可以将结论推广到更加一般的情况，即
[a1,⋯,an]×(a1,⋯,an)=∏i=1nai.[a_1,\,\cdots,\,a_n]\times(a_1,\,\cdots,\,a_n)=\prod_{i=1}^na_i. [a1,⋯,an]×(a1,⋯,an)=i=1∏nai.

★\bigstar★ a∣t,b∣t⟹[a,b]∣ta\,|\,t,b\,|\,t\Longrightarrow\,[a,\,b]\,|\,ta∣t,b∣t⟹[a,b]∣t

证明：

要证明整除关系，自然想到应用带余除法，只需要证明余数为000即可。

设
t=[a,b]×q+r,q∈Z,0⩽r<[a,b],t=[a,b]\times q+r,\quad q\in\mathbb{Z},\ 0\leqslant r<[a,\,b], t=[a,b]×q+r,q∈Z, 0⩽r<[a,b],
则由于a∣[a,b],a∣ta\,|\,[a,\,b],\,a\,|\,ta∣[a,b],a∣t，根据《与素数有关的一些性质及证明（一）》中关于整除的性质："除数整除被除数的倍数和"得到：a∣t+(−q)×[a,b]⟹a∣ra\,\big|\,t+(-q)\times[a,\,b]\Longrightarrow a\,|\,ra∣∣t+(−q)×[a,b]⟹a∣r，同理可得b∣rb\,|\,rb∣r，因此得到rrr是a,ba,\,ba,b的公倍数，但是根据带余除法的条件：0⩽r<[a,b]0\leqslant r<[a,\,b]0⩽r<[a,b]，rrr小于a,ba,\,ba,b的最小公倍数，所以rrr只能取000，这就证明了[a,b]∣t[a,\,b]\,|\,t[a,b]∣t。

P.S. 这个定理的证明有很多种方法，这里仅介绍常见的一种，也可以从唯一素因子分解定理出发进行证明，其步骤比较直观，在此不详述。

推广

根据定理的证明，很容易将其推广到任意整数的情形，即
ai∣t,(i=1,2,⋯,n)⟹[a1,a2,⋯,an]∣t.a_i\,|\,t,\,(i=1,\,2,\,\cdots,\,n)\Longrightarrow\,[a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n]\,|\,t. ai∣t,(i=1,2,⋯,n)⟹[a1,a2,⋯,an]∣t.

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