(I)直线篇

1 直线是如何表示的？

对于平面中的一条直线，在笛卡尔坐标系中，常见的有点斜式，两点式两种表示方法。然而在hough变换中，考虑的是另外一种表示方式：使用(r,theta)来表示一条直线。其中r为该直线到原点的距离，theta为该直线的垂线与x轴的夹角。如下图所示。

2 如果坐标系中有多个点，又怎样识别出哪些点在一条直线上呢？

使用hough变换来检测直线的思想就是：为每一个点假设n个方向的直线，通常n=180，此时检测的直线的角度精度为1°，分别计算这n条直线的(r,theta)坐标，得到n个坐标点。如果要判断的点共有N个，最终得到的(r,theta)坐标有N*n个。有关这N*n个(r,theta)坐标，其中theta是离散的角度，共有180个取值。

最重要的地方来了，如果多个点在一条直线上，那么必有这多个点在theta=某个值theta_i时，这多个点的r近似相等于r_i。也就是说这多个点都在直线(r_i,theta_i)上。

3 下面拿个例子说明：

如果空间中有3个点，如何判断这三个点在不在一个直线上，如果在，这条直线是的位置为？

这个例子中，对于每个点均求过该点的6条直线的(r,theta)坐标，共求了3*6个(r,theta)坐标。可以发现在theta=60时，三个点的r都近似为80.7，由此可判定这三个点都在直线(80.7，60)上。

通过 r0theta 坐标系可以更直观表示这种关系，如下图：图中三个点的(r,theta)曲线汇集在一起，该交点就是同时经过这三个点的直线。

在实际的直线检测情况中，如果超过一定数目的点拥有相同的(r,theta)坐标，那么就可以判定此处有一条直线。在r0theta 坐标系图中，明显的交汇点就标示一条检测出的直线。

如下图，可以判定出平面上的点共构成了两条直线，即检测出两条直线。

4 代码：

在matlab中提供了hough变换的代码，有hough，houghlines，houghpeaks，具体的使用可以在help中查到。

(II)圆篇

继使用hough变换检测出直线之后，顺着坐标变换的思路，提出了一种检测圆的方法。

1 如何表示一个圆？

与使用(r,theta)来表示一条直线相似，使用(a,b,r)来确定一个圆心为(a,b)半径为 r  的圆。

2 如何表示过某个点的所有圆？

某个圆过点(x1,y1)，则有：(x1-a1)^2 + (y1-b1)^2 = r1^2 。

那么过点(x1,y1)的所有圆可以表示为(a1(i),b1(i),r1(i))，其中r1∈(0，无穷)，每一个 i 值都对应一个不同的圆，(a1(i),b1(i),r1(i))表示了无穷多个过点(x1,y1)的圆。

3 如何确定多个点在同一个圆上？

如(2)中说明，过点(x1,y1)的所有圆可以表示为(a1(i),b1(i),r1(i))，过点(x2,y2)的所有圆可以表示为(a2(i),b2(i),r2(i))，过点(x3,y3)的所有圆可以表示为(a3(i),b3(i),r3(i))，如果这三个点在同一个圆上，那么存在一个值(a0,b0,r0)，使得 a0 = a1(k)=a2(k)=a3(k) 且b0 = b1(k)=b2(k)=b3(k) 且r0 =  r1(k)=r2(k)=r3(k)，即这三个点同时在圆(a0,b0,r0)上。

从下图可以形象的看出：

首先，分析过点(x1,y1)的所有圆(a1(i),b1(i),r1(i))，当确定r1(i)时 ，(a1(i),b1(i))的轨迹是一个以(x1,y1,r1(i))为中心半径为r1(i)的圆。那么，所有圆(a1(i),b1(i),r1(i))的组成了一个以(x1,y1,0)为顶点，锥角为90度的圆锥面。

三个圆锥面的交点A 既是同时过这三个点的圆。

4 怎样用代码实现检测圆的过程？

上面的分析虽然很简单，但是用代码实现起来就麻烦了，首先过每一个点的(a(i),b(i),r(i))都有无穷多个，若是要检测的点很多，要两两比较所有的(a,b,r)值是否相等实在是一个巨大的运算量。

……未完待续……

转自：http://blog.163.com/yuyang_tech/blog/static/21605008320130233343990/