本文内容对应我的博客中微积分笔记总目录下的第二章，导数和微分的应用。

2. 导数和微分的应用（Applications）

本章主要总结一些导数的应用和一条与导数有关的定理（中值定理）

2.1 线性和二次近似（Linear and Quadratic Approximation）

2.1.1 线性近似

什么是线性近似？

如果已知函数 f(x)f(x)f(x) 的某一点坐标 (x0,f(x0))(x_0,\ f(x_0))(x0, f(x0)) 和这一点的导数 f′(x0)f'(x_0)f′(x0)，我们就可以该点的切线来估计 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 附近的数值，即：f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x−x0)f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x−x0)
从图像上理解的话参考下图。

如何理解线性近似？

从导数的定义中我们知道：
f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔfΔxf'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}f′(x0)=Δx→0limΔxΔf
这时候我们从右往左思考这个方程，会发现，
ΔfΔx=f(x)−f(x0)x−x0≈f′(x0)\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\approx f'(x_0)ΔxΔf=x−x0f(x)−f(x0)≈f′(x0)
化简之后很显然：
f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x−x0)f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x−x0)
需要注意线性近似的前提一定是 Δx\Delta xΔx 足够小才可以。如果超出这个范围，参考上图可以发现，结果是非常非常不准确的。
另外，为了再简化整个求解过程，通常我们会让 x0=0x_0=0x0=0，显然函数得在零点有导数。公式就简化成：
f(x)≈f(0)+f′(0)xf(x)\approx f(0)+f'(0)xf(x)≈f(0)+f′(0)x
例如，正余弦函数在零点附近的的线性近似：

无穷小量与线性近似

与上文的公式相比，用无穷小量来表示线性近似更简单，由于我们要求解的点几乎紧挨着点(x,y)(x,\ y)(x, y)，所以此点可以表示成(x0+dx,y0+dy)(x_0+dx,\ y_0+dy)(x0+dx, y0+dy)，那么
f(x0+dx)≈y+dyf(x_0+dx)\approx y+dyf(x0+dx)≈y+dy
其中 dy=dy=dy=，最后的公式为：
f(x0+dx)≈y+f′(x0)dxf(x_0+dx)\approx y+f'(x_0)dxf(x0+dx)≈y+f′(x0)dx

常用函数在零点的线性近似总结:

sin⁡x≈xcos⁡x≈1(ifx≈0)\sin x\approx x\quad \cos x\approx1\quad(\text{if} \quad x\approx 0)sinx≈xcosx≈1(ifx≈0)
ln⁡(1+x)≈xorln⁡x≈x−1(ifx≈0)\ln(1+x)\approx x\quad or \quad\ln x\approx x-1\quad(\text{if} \quad x\approx 0)ln(1+x)≈xorlnx≈x−1(ifx≈0)
(1+x)r≈1+rx(ifx≈0)(1+x)^r\approx 1+rx\quad(\text{if} \quad x\approx 0)(1+x)r≈1+rx(ifx≈0)
ex≈1+x(ifx≈0)e^x\approx 1+x\quad(\text{if} \quad x\approx 0)ex≈1+x(ifx≈0)

对于比较复杂的函数，比如 P(x)/Q(x)P(x)/Q(x)P(x)/Q(x) 这种形式的函数，我们可以直接带入P(x),Q(x)P(x),\ Q(x)P(x), Q(x) 的线性近似再相除即可。

2.1.2 二次近似

如何解释多出来的二次项?

一切都源于二次函数的一般形式，f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c。
它的一阶和二阶导数为：
f′(x)=2ax+b;f′′(x)=2af'(x)=2ax+b;\quad f''(x)=2af′(x)=2ax+b;f′′(x)=2a
带入点 x0x_0x0，可以算出：
f′′(x0)=2a→a=f′′(x0)2f''(x_0)=2a\quad \to\quad a=\frac{f''(x_0)}{2}f′′(x0)=2a→a=2f′′(x0)

（二次近似与之后的泰勒级数是一致的）

当要求复杂函数的二次近似的时候，多项式与多项式成绩之后的结果一定包含比二次项更高阶的项，但是不需要考虑这些高阶项，直接删掉即可。

2.2 画草图（Curve Sketching）

粗略地画出一个给定函数的图像有助于我们理解函数的一些性质。在画图的过程中，导数有着非同小可的作用。

步骤

画草图的一般思路是从一些特殊的点着手，之后看一阶二阶导数，最后整合信息画图。
具体步骤为：

画出以下的点：

函数的终止点，即 x→±∞x\to\pm\inftyx→±∞
不连续的点（没有定义的点，如分母为0的情况）
其他容易求的点（option）

找出临界点（Critical Point）和拐点（Inflection Point），即 f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 的点 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0))(x0,f(x0))，并找到自变量 xxx 的区间。
判断 f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 或者 f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0 的区间，并判断其增减性（在某一区间内，f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 函数递增，f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0 函数递减，增减性的证明请参考‘中值定理’部分）
判断 f′′(x)>0f''(x)>0f′′(x)>0 或者 f′′(x)<0f''(x)<0f′′(x)<0 的区间，并判断其凹凸性（在某一区间内，f′′(x)>0f''(x)>0f′′(x)>0 函数concave up，f′′(x)<0f''(x)<0f′′(x)<0 函数concave down；这里，Concave的朗文字典解释是：a concave surface is curved inwards in the middle，意思是有一条水平直线，concave up就是直线两端向上弯曲，反之向下，请自行理解）
整合以上信息，开始做图。

最值

由以上步骤，求函数的最大值和最小值也就非常明显了。
最大值的地方：f′(x0)=0,f′′(x0)<0f'(x_0)=0,\ f''(x_0)<0f′(x0)=0, f′′(x0)<0
最小值的地方：f′(x0)=0,f′′(x0)>0f'(x_0)=0,\ f''(x_0)>0f′(x0)=0, f′′(x0)>0
（通过隐式函数微分的方法求出来的最值点，其表达式可以写成 x,yx,\ yx, y 的比例，因此也被称为相对率，Related Rates）

举例

画出函数f(x)=x/ln⁡xf(x)=x/\ln xf(x)=x/lnx的大致曲线。
中间步骤我就不写了，结果如下

2.3 牛顿法求根（Newton’s Method）

在听到牛顿法求根这一段的时候，我突然想到大二在学《MATLAB与数值计算》这门课程时详细介绍了牛顿法，这是一个比较好理解的计算机处理函数根的方法之一。

基本思路

牛顿法的基本思路是先猜一个可能的点（最好靠近根，如果离函数的根太远就会找错根甚至找不到），然后通过做该点的切线找到与 xxx轴的交点，再以此类推，直到找到准确的根或者满足人为设定的准确度即可。

定义及表达式

每一次迭代的代数表达式为：
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}xn+1=xn−f′(xn)f(xn)

简单验证（Double Check!）

如上图所示，红线代表在点 x0x_0x0 处的切线，通过几何关系我们可以得到:
f′(x0)=0−f(x0)x1−x0→x1=x0−f(x0)f′(x0)f'(x_0)=\frac{0-f(x_0)}{x_1-x_0}\quad \to \quad x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}f′(x0)=x1−x00−f(x0)→x1=x0−f′(x0)f(x0)
之后的迭代也同理。

每次迭代准确率的变化

为了衡量牛顿法的准确率，我们需要在每次迭代后计算误差 En=∣x−xn∣E_n=|x-x_n|En=∣x−xn∣，公式中的 xxx 代表函数准确的零点，xnx_nxn 是估算值。经过实验发现，每次迭代之后的误差数量级是以二次方的速度下降的。如下表，

E0E_0E0	E1E_1E1	E2E_2E2	E3E_3E3	E4E_4E4
10−110^{-1}10−1	10−210^{-2}10−2	10−410^{-4}10−4	10−810^{-8}10−8	10−1610^{-16}10−16

如果initial guess比较合理，那么只需要几次迭代，牛顿法就能找到比较准确的零点了。
但要注意的是，牛顿法在 ∣f′(x)∣|f'(x)|∣f′(x)∣ 的值特别小（如 ln⁡x\ln xlnx），∣f′′(x)∣|f''(x)|∣f′′(x)∣ 特别大的时候（如非常陡的抛物线）会失去效力；除此之外，第一个数猜错了会导致牛顿法的结果并不是我们想要的零点，甚至会不断震荡（震荡原理如下图）。

2.4 中值定理（Mean Value Theorem）

中值定理也涉及到了导数，所以我把中值定理归类到了导数的应用当中。

2.4.1 中值定理的内容

如果函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 x∈(a,b)x\in(a,b)x∈(a,b) 是可导的，在区间x∈[a,b]x\in[a,b]x∈[a,b] 上是连续的，那么
f(b)−f(a)b−a=f′(c)(for a≤c≤b)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\quad (\text{for}\ \ a\leq c\leq b)b−af(b)−f(a)=f′(c)(for a≤c≤b)
min⁡a≤x≤bf′(c)≤f(b)−f(a)b−a=f′(c)≤max⁡a≤x≤bf′(c)\min_{a\leq x\leq b}f'(c)\leq\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\leq \max_{a\leq x\leq b}f'(c)\quad a≤x≤bminf′(c)≤b−af(b)−f(a)=f′(c)≤a≤x≤bmaxf′(c)(for a≤c≤b)(\text{for}\ \ a\leq c\leq b)(for a≤c≤b)

2.4.2 中值定理的几何解释

用几何图形来解释中值定理的过程如下图所示，

（注意，与 a,ba,\ ba, b 两点割线斜率相同的点在给定区间 (a,b)(a,b)(a,b) 可以有很多，并不是惟一的）

2.4.3 中值定理的应用

A. 用中值定理证明函数增减行和其导数的关系

早在高中时候我们就学到，在某一区间内，如果 f′>0f'>0f′>0，函数递增；如果f′<0f'<0f′<0，函数递减。中值定理为我们提供了证明方法。
中值定理的内容是：f(b)−f(a)b−a=f′(c)(for a≤c≤b)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\quad (\text{for}\ \ a\leq c\leq b)b−af(b)−f(a)=f′(c)(for a≤c≤b)
可以得到，
f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)
在区间 x∈[a,b]x\in[a,b]x∈[a,b] 上 b>ab>ab>a，那么如果函数的一阶导数 f′(c)>0f'(c)>0f′(c)>0，则f(b)>f(a)f(b)>f(a)f(b)>f(a)，函数单调递增；反之，f(b)<f(a)f(b)<f(a)f(b)<f(a)

B. 证明不等式

例:
求证当 x>0x>0x>0 时，ex>1+xe^x>1+xex>1+x
令f(x)=ex−(1+x)f(x)=e^x-(1+x)f(x)=ex−(1+x)，f(0)=0f(0)=0f(0)=0，f′(x)=ex−1f'(x)=e^x-1f′(x)=ex−1。当 x>0x>0x>0 时，f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0，函数递增，所以 f(x)=ex−(1+x)>f(0)f(x)=e^x-(1+x)>f(0)f(x)=ex−(1+x)>f(0)，即 ex>1+xe^x>1+xex>1+x

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