正题

题目连接:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1836

题目大意

nnn个点mmm次随机选择一个点标记（可以重复），求最后被标记点的期望个数。

1≤n,m≤10181\leq n,m\leq 10^{18}1≤n,m≤1018

解题思路

额开始拿方案数推了半天后面发现要斯特林数就放弃了，然后换了种方法发现很简单？

设iii轮之后被标记点的期望个数是fif_ifi，那么有
fi=fi−1+n−fi−1nf_i=f_{i-1}+\frac{n-f_{i-1}}{n}fi=fi−1+nn−fi−1
fi=fi−1n−1n+1f_i=f_{i-1}\frac{n-1}{n}+1fi=fi−1nn−1+1
然后矩阵乘法就好了。

有一说一我第一次用期望值来算概率（（（

时间复杂度O(Tlog⁡n)O(T\log n)O(Tlogn)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int S=2;
struct Matrix{__float128 a[S][S];
}f,ans,c;
long long T,n,m;
Matrix operator*(const Matrix &a,const Matrix &b){c.a[0][0]=c.a[0][1]=c.a[1][0]=c.a[1][1]=0;for(int i=0;i<S;i++)for(int j=0;j<S;j++)for(int k=0;k<S;k++)c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];return c;
}
int main()
{scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld%lld",&n,&m);f.a[1][1]=(__float128)(n-1)/n;f.a[0][1]=f.a[0][0]=1;f.a[1][0]=0;ans.a[0][0]=1;ans.a[0][1]=0;while(m){if(m&1)ans=ans*f;f=f*f;m>>=1;}printf("%.12lf\n",(double)ans.a[0][1]);}return 0;
}

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