51nod 1836 战忽局的手段（期望）

Description

众所周知，有一个神秘的组织——战忽局，在暗中保护着我们。在局中任职的官员都有着极强的忽悠技巧，不只能用预言，还能用往事忽悠人。如今某外星间谍已经获得了战忽局曾经参与的n次事件的资料，局座发现了这件事，于是决定再次用忽悠来保证战忽局的安全。局座将发表m次演讲，每一天他都会从n事件中等概率地挑选一件混淆众人，由于局座每天很忙，不能把之前将的事件都记录下来，因此他可能会重复选择某一件事。现在局座想知道，m次演讲过后，期望能使多少事件混淆众人。

Input

第一行一个整数T（1<=T<=1000）,表示数据组数。接下来T行每行两个正整数n,m（1<=n,m<=1e18）分别表示事件数和局座演讲的次数。

Output

对于每组数据输出一行一个实数ans,表示局座在m次演讲之后期望混淆众人的事件数，你输入的数和标准答案的相对误差不超过1e-6视为正确。

Input示例

Output示例

1.5000000
10.0000000
1.6666667

思路

定义 fx f_x 为 n n 个事件，忽悠 xx 次的期望事件数。

显然， fx=fx−1+(1−fx−1n)=1+n−1nfx−1 f_x=f_{x-1}+(1-\frac{f_{x-1}}{n})=1+\frac{n-1}{n}f_{x-1} 。

于是构造出矩阵：

⎛⎝⎜f1010⎞⎠⎟×⎛⎝⎜⎜⎜n−1n101⎞⎠⎟⎟⎟m−1

\begin{pmatrix} f_1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac{n-1}{n} & 0 \\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{m-1}

用快速幂简单写一下就好了，其中 f1=1 f_1=1 。

注意 long double 貌似精度也不够，可以用 __float128 。

AC 代码

#include<bits/stdc++.h>
#include<quadmath.h>
#define IO ios::sync_with_stdio(false);\cin.tie(0);\cout.tie(0);
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef __float128 LB;
const int maxn = 1e8+10;struct node
{LB mp[2][2];
} init,res;struct node Mult(struct node x,struct node y)
{struct node tmp;for(int i=0; i<2; i++)for(int j=0; j<2; j++){tmp.mp[i][j]=0;for(int k=0; k<2; k++)tmp.mp[i][j]+=x.mp[i][k]*y.mp[k][j];}return tmp;
}struct node expo(struct node x, LL k)
{struct node tmp;memset(tmp.mp,0,sizeof(tmp.mp));tmp.mp[0][0] = tmp.mp[1][1] = 1;while(k){if(k&1) tmp=Mult(tmp,x);x=Mult(x,x);k>>=1;}return tmp;
}void solve(LL n,LL m)
{init.mp[0][0] = LB(n-1) / n;init.mp[0][1] = 0;init.mp[1][0] = 1;init.mp[1][1] = 1;res = expo(init,m-1);cout<<fixed<<setprecision(12)<<double(res.mp[0][0]+res.mp[1][0])<<endl;
}int main()
{IO;int T;cin>>T;while(T--){LL n,m;cin>>n>>m;solve(n,m);}return 0;
}

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