二叉树介绍与代码实现

文章目录

1 树的基本概念
- 1.1 树的形式定义
- 1.2 树的递归定义
- 1.3 树的基本术语
- 1.4 二叉树的递归定义
- 1.5 存储方法
- 1.6 满二叉树VS完全二叉树
2 二叉树的性质
3 代码实现

1 树的基本概念

1.1 树的形式定义

T={D，R}

D为树T中包含n个结点的有限集合，R为树中结点之间关系的集合。
当n=0时，树为空树；当n>0时，R是D上某个二元关系的集合，满足以下条件：

有且仅有一个结点，称为根结点，该结点没有直接前驱结点；

除根结点外，每个结点有且仅有一个前驱结点；

D中每个结点可以有零个或多个后继结点；

1.2 树的递归定义

树是由n（n≥0）个结点组成的有限集T。
当n=0时，它是一个空树；当n>0时，它满足两个条件：

有且仅有一个特定的结点，称为根结点。

除根结点以外的其余结点分为m个（m≥0）互不相交的有限集T₁、T₂、……T_m，其中每个集合又都是一棵树，称T₁、T₂、……T_m为根结点的子树。

1.3 树的基本术语

结点：树的数据元素

结点的度：该结点的分支的个数

树的度：树中所有结点的度的最大值

结点的层次：从根到该结点的层数（根结点算第一层）

树的深度：所有结点的层次的最大值

根结点：在非空树中，无前驱结点的结点

分支结点：度不为0的结点

叶结点：度为0的结点

孩子结点：结点的子树的根

双亲结点：孩子结点的根结点

兄弟结点：具有共同双亲的结点

堂兄弟结点：双亲互为兄弟的结点

祖先结点：从根到该结点的所经历的所有结点

子孙结点：以某结点为根的子树中的任一结点

1.4 二叉树的递归定义

二叉树是结点的有限集合，这个有限集，或为空集，或由一个根结点及两棵互不相交的，分别叫作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。

【注意】二叉树不是树的特殊情况。

1.5 存储方法

双亲表示法——求父结点方便
孩子表示法——求子结点方便
双亲孩子表示法—求父结点和子结点方便
二叉树表示法——把一个普通树转化成二叉树来存储

1.6 满二叉树VS完全二叉树

满二叉树

定义：深为k且有2k−12^k-12k−1个结点的二叉树。

编号：约定编号从根开始，自上而下，自左而右，给二叉树中的每个结点一个从1开始的连续的编号。

完全二叉树

定义：深为k且有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应。

满二叉树是完全二叉树，反之则不一定！

2 二叉树的性质

在二叉树的第 i 层上至多有 2i−12^{i-1}2i−1个结点 (i≥1i\geq1i≥1)

证明：
（1）i=1时，只有一个根结点，2i−12^{i-1}2i−1 =202^020= 1，结论正确；
（2）假设n=k-1命题成立，即第k-1层上至多有 2k−22^{k-2}2k−2 个结点，则当n=k时，每个结点至多有两棵子树；
则k层结点最多为k-1层的2倍，故s<=2∗2k−2=2k−1s<=2*2^{k-2}=2^{k-1}s<=2∗2k−2=2k−1，第i层至多有 2i−12^{i-1}2i−1 个结点；
（3）由归纳法，即得证。

深度为 k 的二叉树至多有2k−12^k-12k−1个节点(k≥1k\geq1k≥1)

2⁰+2¹+…+2^k-1=2^k-1（利用等比数列求和公式得到结果）

对任何一颗二叉树 T，如果其终端结点树为 n0n_0n0，度为 2 的结点数为 n2n_2n2，则 n0n_0n0 = n2n_2n2+1

证明：
终端结点数就是叶结点数了，而一颗二叉树，除了叶结点外，剩下的就是度为 1 和 2 的结点数了，我们设 n1n_1n1 为度是 1 的结点数，则树 T 的总结点数为

n = n0n_0n0 + n1n_1n1 + n2n_2n2

再换一个角度，数一下二叉树中连接线的总数，由于根节点没有双亲，所以一个二叉树中，连接线数等于结点树-1，n1n_1n1 的度为 1 所以它仅有一条连接线，n2n_2n2同理，代数表达式就是

n−1n-1n−1 = n1n_1n1 +2n22n_22n2

再结合等式

n = n0n_0n0 + n1n_1n1 + n2n_2n2

推导出

n0n_0n0 + n1n_1n1 + n2n_2n2-1 = n1n_1n1 + 2n22n_22n2

所以：

n0n_0n0 = n2n_2n2 + 1

具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 [log⁡2n][\log_2 n][log2n] + 1 ,（[x]代表不大于 x 的最大整数）

证明：
1）对于满二叉树，深度为 k 的满二叉树至多有2k−12^k-12k−1个节点(k≥1k\geq1k≥1)
那么由：

n=2k−1n=2^k-1n=2k−1

可以倒推

k=log⁡2(n+1)k=\log_2(n+1)k=log2(n+1)

2）对于完全二叉树，它的结点数一定少于等于同样深度的满二叉树 2k−12^k-12k−1，但一定多于 2i−1−12^{i-1}-12i−1−1，即：

2i−1−1<n≤2k−12^{i-1}-1<n\leq2^k-12i−1−1<n≤2k−1

所以

2i−1≤n<2k2^{i-1}\leq n < 2^k2i−1≤n<2k

两边取对数：

2i−1≤n<2k2^{i-1}\leq n < 2^k2i−1≤n<2k

而 k 又是整数：

k=[log⁡2n]+1k = [\log_2 n] + 1k=[log2n]+1

对于一个有 n 个结点的完全二叉树（或满二叉树）的结点按层序顺序从左到右编号，对任意结点 i 有：

1）如果 i = 1，那么结点 i 为该树的根，无双亲；若 i > 1 ，则其双亲是结点 [i/2]
2）如果 2i > n，则结点无左孩子（结点 i 为叶子结点），否则其左孩子结点是 2i
3）如果 2i + 1 > n，则结点 i 无右孩子，否则其右孩子是结点 2i + 1

3 代码实现

创建二叉树：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>typedef char ElementType;
typedef struct Binary {ElementType data;struct Binary *lchild;struct Binary *rchild;
} *BinaryTree;/* Recursive implementation 1 */
BinaryTree CreateBinaryTree_1(void)
{BinaryTree bt;char ch;scanf("%c", &ch);if (ch == '#') {bt = NULL;} else {bt = (BinaryTree)malloc(sizeof(struct Binary));bt->data = ch;bt->lchild = CreateBinaryTree_1();bt->rchild = CreateBinaryTree_1();}return bt;
}/* Recursive implementation 2 */
void CreateBinaryTree_2(BinaryTree *bt)
{char ch;scanf("%c", &ch);if (ch == '#') {*bt = NULL;} else {*bt = (BinaryTree)malloc(sizeof(struct Binary));(*bt)->data = ch;CreateBinaryTree_2(&((*bt)->lchild));CreateBinaryTree_2(&((*bt)->rchild));}
}void PreviousOrderTraverse(BinaryTree T)
{if (T == NULL) {return;}printf("%c", T->data);PreviousOrderTraverse(T->lchild);PreviousOrderTraverse(T->rchild);
}int main(void)
{BinaryTree bt;// bt = CreateBinaryTree_1();CreateBinaryTree_2(&bt);PreviousOrderTraverse(bt);return 0;
}

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