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前言

对于普通的方程，我们用高中学的解方程方法是可以的，不过对于 超越方程 与 高次代数方程 的求解是很困难的，而且也很难得到准确得解，今天我们用Python语言和二分法来求解这些方程，得到满足精度的解，并不是准确。

（一）二分法的分析

1.定义：

在某区间有函数 \(f(x)\) 在区间\([a, b]\) 内单调连续，且\(f(a)*f(b)<0\) ,根据连续函数的性质可知方程在\([a,b]\) 内一定有唯一的实根。

2.需要满足的条件：

1. \(f(x)\)是单调函数
2. \(f(x)\)是连续函数
3. \(f(a)*f(b)<0\)

3.二分法的思想：

不断的分割\([a,b]\) 区间，取\([a,b]\) 的中点值\(x=(a+b)/2\)

1. 当\(f(x)*f(a)<0?\) 时，则根在\([a,x]\) 之间;
2. 当\(f(x)*f(b)<0\) 时，则根在\([x,b]\) 之间。
3. 再分割\(x=(a+b)/2\)

直到\(x\)满足我们的精度，我们取\(x\) 为\(f(x)\) 的近似解。

4.二分法的误差：

我们取的是:第k次分割后的中间值为近似解。

即：\(x_k=\frac{1}{2}(a_k+b_k)\)

对于预先给定的误差：\(\varepsilon>0\)

有：\(|x^*-x_k| \le \frac{1}{2}(b_k-a_k)=\frac{1}{2^k+1}<\varepsilon\)

（二）代码实现

1.算法流程图：

2.源代码：

（1）feval函数：

def feval(string, a):"""根据值来计算数学表达式。:param string: 含有x未知数的数学表达式:param a: 自变量x的具体数值:return:  数学表达式的计算结果"""count = string.count("x")string = string.replace('x', '%f')t = (a, ) * countresult = eval(string % t)return result

（2）二分法

"""二分法：f(a)*f(b)<0 连续函数f(a)在a,b区间必有根。
"""
from my_math.func_math import fevaldef two_fun(expr, a, b, r):"""二分法求解方程:param expr: 方程表达式:param a: 左端:param b: 右端:param r: 精度:return: 求解的结果"""f_a = feval(expr, a)f_b = feval(expr, b)if f_a*f_b >= 0:print("该区间没有根")else:k = 0while 1/(2**(k+1)) > r:x = (b + a)/2if feval(expr, a) * feval(expr, x) > 0:a = xelse:b = xk += 1print("*"*20)print("次数", k)print("x:", x)print("a:", a)print("b:", b)result = (a+b)/2print("满足精度的结果：", result)# 求解1-x-sin(x)=0为例
if __name__ == '__main__':two_fun("1-x-sin(x)", 0, 1, 10**-4)

（三）案例效果

1.求解：\(1-x-sin(x)=0\)

使用二分法求解\(1-x-sin(x)=0?\) ,误差范围不超过\(\frac{1}{2}\times10^{-4}\)

（1）确定范围：

使用到数学绘图软件，根据数学表达式绘制曲线。

绘图软件的下载网址

https://www.cnblogs.com/zyg123/p/10385517.html#%E7%9B%AE%E5%BD%95

a. 大致的图像：

b.利用放大按钮，放大后的图像：

c.范围是：[0, 1]内必有根

（2）运行结果：

次数 1
x: 0.5
a: 0.5
b: 1
********************
…………

次数 13
x: 0.5108642578125
a: 0.5108642578125
b: 0.510986328125

满足精度的结果： 0.51092529296875

取结果是：0.5109

2.求解：\(sin(x)-\frac{x^2 }{4}=0\)

要求误差不超过，\(10^{-3}\)

（1）确定范围：

根据下面图像，取范围：[1.8, 2.0]

（2）运行结果：

次数 1
x: 1.9
a: 1.9
b: 2.0

…………

次数 9
x: 1.933984375
a: 1.93359375
b: 1.933984375

满足精度的结果： 1.9337890625

取结果是：1.934

3.求解：\(x^{3}-x-1=0\)

要求误差不超过：\(10^{3}\)

（1）确定范围：

根据下面图像，取范围是：[-2, 2]

（2）运行结果：

次数 1
x: 0.0
a: 0.0
b: 2.0

…………

次数 9
x: 1.3203125
a: 1.3203125
b: 1.328125

满足精度的结果： 1.32421875

取结果是：1.324

作者：Mark

日期：2019/02/17 周日