动态规划-矩阵连乘问题
给定n个矩阵,其中与 是可乘的, 。考察这n个矩阵的连乘积 由于矩阵乘法满足结合律,所以计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。
若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定,也就是说该连乘积已完全加括号,则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积
算法复杂度分析:
对于n个矩阵的连乘积,设其不同的计算次序为P(n)。
由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题: (A1... Ak )(Ak+1…An) 可以得到关于 P(n) 的递推式如下
将矩阵连乘积
将矩阵连乘积简记为A[i:j],这里i≤j
考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵
Ak和Ak+1之间将矩阵链断开,i≤k<j,则其相应完全
加括号方式为
计算量:A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量,再加上
A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量
特征:计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。
矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求解的显著特征。
设计算A[i:j],1≤i≤j≤n,所需要的最少数乘次数m[i,j],则原问题的最优值为m[1,n]
当i=j时,A[i:j]=Ai,因此,m[i,i]=0,i=1,2,…,n
当i<j时,
这里的维数为
可以递归地定义m[i,j]为
k的位置只有j-i种可能
在递归计算时,许多子问题被重复计算多次。这也是该问题可用动态规划算法求解的又一显著特征。
用动态规划算法解此问题,可依据其递归式以自底向上的方式进行计算。在计算过程中,保存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次,而在后面需要时只要简单查一下,从而避免大量的重复计算,最终得到多项式时间的算法
<pre name="code" class="cpp">void MatrixChain(int *p,int n,int **m,int **s)
{for (int i = 1; i <= n; i++) m[i][i] = 0;for (int r = 2; r <= n; r++)for (int i = 1; i <= n - r+1; i++) {int j=i+r-1;m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j];s[i][j] = i;for (int k = i+1; k < j; k++) {int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];if (t < m[i][j]) { m[i][j] = t; s[i][j] = k;}}}
}
算法复杂度分析:
算法matrixChain的主要计算量取决于算法中对r,i和k的3重循环。循环体内的计算量为O(1),而3重循环的总次数为O(n3)。因此算法的计算时间上界为O(n3)。算法所占用的空间显然为O(n2)。
通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长。因此用动态规划算法只需要多项式时间,从而获得较高的解题效率
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