动态规划的理论性和实践性都比较强，一方面需要理解状态、状态转移、最优子结构、重叠子问题等概念，另一方面又需要根据题目的条件灵活设计算法。

动态规划是一种用途很广的问题求解方法。它本身并不是一个特定的算法，而是一种思想，一种手段。

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解为若干个子问题。

在分解时，得到的子问题往往不是互相独立的，不同子问题的数目常常只有多项式量级。

在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。

如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。

动态规划基本步骤：

1、找出最优解的性质，并刻画其结构特征。

2、递归的定义最优值。

3、以自底向上的方式计算最优值。

4、根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

动态规划算法产用于求解具有某种最优性质的问题。

可能会有许多可行解，希望找到具有最优解的那个解。

矩阵连乘问题。

给定n个矩阵， 其中与是可乘的，考察这n个矩阵的连乘积

计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。

输入：矩阵的个数n。矩阵的行数与列数(去除重复)

输出：最少的数乘次数、最优解的方案，即Ai与Aj矩阵相乘，在k位置中断，输出i，k，k+1，j。

计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。不同的计算次序对应一种矩阵连乘的完全加括号的方式。

若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，即连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算矩阵连乘积

完全加括号的矩阵连乘递归定义：

(1)单个矩阵是完全加括号的；

(2)矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可

表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B 和C

的乘积并加括号，即A=(BC)

给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。

用这种方法时间复杂度太高了，不采用。

怎么用动态规划的方法来解决这个问题呢？

将矩阵连乘积AiAi+1…Aj简记为A[i:j],这里i <= j

考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，i <=k <=j，则其相应完全加括号方式为

计算量：A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量。

动态规划算法的第一步：刻画问题的最优解结构特征。

特征：计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。

矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。

问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求解的显著特征。

步骤二：建立递归关系。

设计算A[i:j],1<=i<=j<=n,所需要的最少数乘次数为m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]

当i=j时，A[i:j]=Aj，因此，m[i,i]=0,i=1,2,…n

当i

于是可以递归的定义m[i,j]为：

k的位置只有j-i种可能(最后一个在j-1处)。

注意：m[i,j]给出了最优值，同时确定了最优次序中的断开位置k：

m[i,j] =m[i,k] + m[k+1,j]  + pi-1pkpj

若将对应于m[i,j]的断开位置k记为s[i]，在计算最优值m[i,j]后， 可由s[i,j]构造出相应的最优解。

步骤三：计算最优值。

i，j可以相等，有n种情况。

由此可见，在递归计算时，许多子问题被重复计算多次。这也是该问题可用动态规划算法求解的又一显著特征

用动态规划算法解此问题，可根据其递归式以自底向上的方式进行计算。

在计算过程中，保存已解决的子问题答案，每个子问题只计算一次。

而在后面需要子问题的解时只要简单的查一下，从而避免大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。

代码实现下一篇再讲。