动态规划——矩阵链相乘

如果看过我上一篇文章（动态规划——最长公共子序列）的同学，相信已经对动态规划的思想有了一定的了解和认识，即把之前求解得出的子问题存储起来，以便后续求解大问题直接使用。

本章要讲解的问题是矩阵链相乘。因为要照顾一些小白同学和方便撰写文章，我会写得比较详细，如果有基础、想看ac代码的同学可直接跳到后面的代码段。矩阵链相乘，顾名思义就是多个矩阵相乘，那为什么同样的矩阵相乘得出来的乘法次数会不一样呢？下面来看一个例子。

三个二维矩阵M1、M2、M3，分别是2*10，10*2，2*10。如果（M1*M2）*M3，那么要进行的乘法次数是2*10*2+2*2*10=80；如果M1*（M2*M3），那么要进行的乘法次数是10*2*10+2*10*10=400（看不懂乘法次数算式的同学可以先去复习一下线性代数的知识）。所以，矩阵链相乘的相乘次数会根据矩阵间的不同相乘顺序而有所不同。看懂原理之后，那我们来做一个题。

矩阵链乘 (转自PTA）

用动态规划法确定n个矩阵链乘M1M2...Mn运算量最小(即数量乘法次数最少)的计算次序.。

输入格式:

输入的第一行包含一个整数n(1≤n≤20)，接下来一行是n+1个数依次是n个矩阵的行数以及最后一个矩阵的列数。注意，根据矩阵乘法定义，两个矩阵相乘MiMi+1意味着后一矩阵Mi+1的行数与前一矩阵Mi的列数相同。

输出格式:

在一行内输出这n个矩阵链乘时数量乘法的最少次数，以及一种对应的最优计算次序。最优计算次序采用对M1M2...Mn加括号的形式输出，一共n−1对括号（参见输出样例）。
如果有多种最优计算次序，则取每层括号尽量靠前的那种次序（即每层括号划分的两个矩阵子序列中前面子序列尽可能短的那种）。例如，如果M1M2M3M4M5的最优计算次序的最外层括号有两种方式:(M1M2M3)(M4M5)和(M1M2)(M3M4M5), 则最外层括号取后一种，因为其括号更靠前。

输入样例:

5
5 10 4 6 10 2

输出样例:

348 (M1(M2(M3(M4M5))))

我们先来整理一下思路。假如只有一个矩阵，那乘法次数自然为0；当有两个矩阵时，次数为矩阵行列直接相乘可得；当有三个矩阵时，就有两种相乘方式，即（M1*M2）*M3和M1*（M2*M3）；以此类推，放到二维数组中可以如下表示：

m[i, j]表示的是矩阵i到矩阵j链相乘所需要的最少乘法次数。d代表的是有d个矩阵相乘，可知d=1这一斜线上的m[i, j]都等于0；d=2时，斜线上的m[i, j]等于两个矩阵行列直接相乘；d=3时，就有两种选择，例如m[1,3]=min{m[1, 2]+m[3, 3]+a[1]*a[3]*a[4], m[1, 1]+m[2, 3]+a[1]*a[2]*a[4]} //数组a存储矩阵的行和列。大家可以发现，求m[1, 3]的时候，需要用到的m[1, 2]、m[3, 3]、m[1, 1]、m[2, 3]都是前面已经求得的，直接拿来运算就可以了，这就是本题动态规划的思路。后面的原理也是一样的，就不赘述。

所以，我们可以得出一个求m[i, j]的公式：m[i, j]=min{ m[i, j], m[i, k]+m[k+1, j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1] }。大家可以把k理解为中转站，比如汽车高速路上行驶，如果跑长途的话，一般都会在某个服务站下车休息一下，那我们要做的就是找出在哪个服务站下车休息，会使整个的行驶时间最短。

for(int d=2;d<=n;d++)//d个矩阵相乘
{for(int i=1;i<=n-d+1;i++)//斜着到第i个 {int j=i+d-1;m[i][j]=inf;for(int k=i;k<=i+d-2;k++){int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1];if(temp<m[i][j]){m[i][j]=temp;s[i][j]=k;}} }
}

（1）d=1时，为一个矩阵的情况，m[i, i]=0，所以不需要求解。

（2）i是所在斜线中的第i个（大家在看代码的时候可以结合上面的图片一起看，方便理解），j是受到i和d的影响，并且都是由固定的表达式求得，不需要重新定义。

（3）k是从i到j之间的中转站（大家注意k的范围，最大范围是j-1），逐一遍历，如果第k个中转站得出来的结果比之前的小，则把m[i, j]更新。

（4）二维数组s是记录i到j之间的哪个中转站可使m[i, j]最小，便于后续打印。

打印矩阵链相乘的最优计算次序

void m_print(int i, int j)
{if(i==j){printf("M%d", i);}else{printf("(");m_print(i, s[i][j]);m_print(s[i][j]+1, j);printf(")");}
}

先来看else代码段，用递归输出，当i != j时，说明i到j还有中转站，即s[i][j]，一直递归；直到i==j时，说明是同个矩阵，没有中转站了，可以打印输出。

本题的ac代码如下：

#include<iostream>
#define inf 100000001
using namespace std;
int a[21]={0};//存储矩阵的行和列
int m[21][21]={0};//存储i到j的最少计算次数
int s[21][21]={0};//存储i到j的中转站k
void m_print(int i, int j)
{if(i==j){printf("M%d", i);}else{printf("(");m_print(i, s[i][j]);m_print(s[i][j]+1, j);printf(")");}
}
int main()
{int n=0;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n+1;i++){scanf("%d",&a[i]);}for(int d=2;d<=n;d++)//d个矩阵相乘 {for(int i=1;i<=n-d+1;i++)//斜着到第i个 {int j=i+d-1;m[i][j]=inf;for(int k=i;k<=i+d-2;k++){int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1];if(temp<m[i][j]){m[i][j]=temp;s[i][j]=k;}} }} printf("%d ",m[1][n]);m_print(1, n);return 0;
}

希望能帮助到大家！