Java动态规划---矩阵链相乘的最小计算代价

参考书籍：算法导论第三版。

采用自底向上的递归模式来求解。

* 动态规划在矩阵链相乘的应用，目的求出最小的计算代价，即矩阵的计算顺序，用加小括号表示。

* 主要的计算思想是递归，而且是带备忘录的递归，辅助作用，存放计算结果。

问题描述：当计算一个矩阵链的时候，计算矩阵的顺序直接影响最后的计算性能。

举一个例子来说明问题：计算矩阵链 A1A2A3A4A5A6标量乘法的总次数？

手动定义矩阵链大小,用一个序列p表示[30 35 15 5 10 20 25]，满足矩阵的乘法尊则。
A1:30X35
A2:35X15
A3:15X5
A4:5X10
A5:10x20
A6:20x25

直接上代码：（范围是int型的），可以更改为long型的。

package com.quan.dynamic_programming;/*** @author quan* 动态规划在矩阵链相乘的应用，目的求出最小的计算代价。* 主要的计算思想是递归，而且是带备忘录的递归，辅助作用。存放计算结果。*/
public class MatrixLinkedMultiply {
/*
手动定义矩阵链大小,用一个序列p表示[30 35 15 5 10 20 25]
A1:30X35
A2:35X15
A3:15X5
A4:5X10
A5:10x20
A6:20x25*/public static void main(String[] args){int[] p = {30, 35, 15, 5, 10, 20, 25};int n = p.length -1;//存放计算代价int[][] m = new int[n][n];//存放分割标号k的值int[][] s = new int[n-1][n];//链长为1的最小计算代价为0.for(int i = 0; i < n; i++){m[i][i] = 0;}//链长从2到n遍历for(int L = 2; L <= n; L++){//遍历的范围，逐渐缩小范围，从第一个开始。for(int i = 0; i < n - L + 1; i++){//每次区间加1，遵从自底向上的递归形式求解。int j = i + L -1;//初始化m[i,j]的值为无限大。m[i][j] = Integer.MAX_VALUE;for(int k=i; k <=j-1; k++){//递归求解公式int q = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i]*p[k+1]*p[j+1];if(q < m[i][j]){//保存序列代价的结果m[i][j] = q;//保存分割点k的值s[i][j] = k;}}}}//输出计算代价的矩阵m，其最终结果是矩阵m[0][m.length-1]System.out.println("该矩阵链的最小计算次数："+m[0][n-1]);for(int i=0; i <m.length; i++){for(int j=0; j <m.length; j++){System.out.print(m[i][j] +"          ");}System.out.println();}//构造最优解MatrixLinkedMultiply.printOptimalPatterns(s,0,n-1);System.out.println();for(int i=0; i <s.length; i++){for(int j=0; j <s[i].length; j++){System.out.print(s[i][j] +"          ");}System.out.println();}}static void printOptimalPatterns(int[][]s,int i, int j){if(i==j)System.out.print("A"+(i+1));//A从1开始，所以记得加1else{System.out.print("(");printOptimalPatterns(s,i,s[i][j]);printOptimalPatterns(s,s[i][j]+1,j);System.out.print(")");}}
}

运行结果如下：

m矩阵

0          15750          7875          9375          11875          15125
0          0              2625          4375          7125            10500
0          0            0          750            2500       5375
0          0          0          0                1000         3500
0          0        0            0        0         5000
0          0        0        0            0           0

该矩阵链的最小计算次数：15125

s矩阵:最优解的所有信息，k值为0,1,2,3,4. i值为0,1,2,3,4,5.分为两段A0..k和Ak+1..5,也是用到了递归求解。
0          0          0          2          2          2
0          0          1          2          2          2
0          0          0          2          2          2
0          0          0          0          3          4
0          0          0          0          0          4

((A1(A2A3))((A4A5)A6))