【2019江苏A】

53.  一群学生分小组在户外活动，如3人一组还多2人，5人一组还多3人，7人一组还多4人，则该群学生的最少人数是：

A.23  B.53  C.88  D.158

解法一：代入法。从A项开始检验；A项不满足除以7余4，排除；B项满足所有条件，选B

解法二：孙子定理(剩余问题)。若总人数加倍，除以3余4、除以5余6、除以7余8，差同减差，此时的总人数=3×5×7×n+1，最初的总人数最少=(3×5×7+1)/2=53人，选B。

数量关系之剩余问题解题原理技巧

1.余数

在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。

被除数(a)÷除数(b)=商(c)…余数(d)，其中a、c均为整数，b、d为自然数。

其中，余数总是小于除数，即0≦d＜b。

2.同余

同余：两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a、b对于m同余。

举例说明：23除以5的余数是3，18除以5的余数也是3，则称23与18对于5同余。

同余的性质：对于同一个除数m，两个数和的余数与余数的和同余，两个数差的余数与余数的差同余，两个数积的余数与余数的积同余。

举例说明：15除以7余数是1，18除以7余数是4。

15+18=33，则33除以7的余数与1+4=5除以7的余数相同。

18-15=3，则3除以7的余数与4-1=3除以7的余数相同。

15×18=270，则270除以7的余数与1x4=4除以7的余数相同。

3.剩余问题

剩余问题主要有以下三种情况：

(1)一个数除以4余2、除以5余2、除以6余2，这个数可表示为什么？

(2)一个数除以4余3、除以5余2、除以6余1，这个数可表示为什么？

(3)一个数除以4余1、除以5余2、除以6余3，这个数可表示为什么？

对于上述三种问题，解题思路是先找出一个满足条件的数，再加上几个除数的最小公倍数的1、2、3、…、n倍，即为所求。

(1)中，余数相同，2满足条件，加上4、5、6的最小公倍数，也满足条件，所以该数表示为(60n+2)。

(2)中，4+3=5+2=6+1=7，余数与除数之和相同，即和同。7满足条件，加上4、5、6的最小公倍数，也满足条件，所以该数表示为(60n+7)。

(3)中，1-4=2-5=3-6=-3，余数与除数之差相同，即差同。-3满足条件，在此基础上加上4、5、6的最小公倍数，也满足条件，所以该数表示为(60n-3)。

所以有余同加余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期。

按照常考的题型，剩余问题可以分为以下几类：

一、代入排除类型

【例1】(江西2009)学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。如果排成3排则不多不少；排成5排则少2人；排成7排则少4人；则学生人数是多少?( )

A.102

B.98

C.104

D.108

【解析】像这样的题目直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，哪个就是正确的答案，毫无疑问，选项108满足条件，选择D。

二、余数关系式和恒等式的应用

余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数(0≦余数＜除数)，但是在这里需要强调两点：

1、余数是有范围的(0≦余数＜除数)，这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。

2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除数=除数×商＋余数。

【例2】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少？

A.12

B.41

C.67

D.71

【解析】余数是11，因此，根据余数的范围(0≦余数＜除数)，我们能够确定除数＞11。除数为整数，所以除数≧12，根据余数的基本恒等式：被除数=除数×商＋余数≧12×商＋余数=12×5＋11=71，因此被除数最小为71，答案选择D选项。

【例3】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A 除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是？

A. 216

B. 108

C. 314

D. 348

【解析】利用余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除，同理，A还可以被6、7整除，因此，A可以表示为5、6、7的公倍数，即210n。由于A、B、C、D的和不超过400，所以A只能等于210，从而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，选C。

像上面这两个题目，就是活用这两个知识点来解题。

三、同余问题

这类问题在考试中比较常见，主要是从除数与余数的关系入手，来求得最终答案。通过总结我们得出解决同余问题的核心口诀，如下表所示：

同余问题核心口诀

“最小公倍数作周期，余同取余，和同加和，差同减差”

余同取余：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，这个数是 60n+1

和同加和：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，这个数是 60n+7