为什么剩余数不能相加_为什么各位之和是 3 的倍数的数能被 3 整除？

2024-05-12 20:44:21

小学数学告诉我们，要检验一个数能否 3 整除，我们只需要把这个数的各位数字相加，看这个和能否被 3 整除就可以了。

为什么呢？

小学数学背后的奇妙环论

把整数映射到模 3 剩余类的函数

构成了整数环

到

环的环同态。

环同态告诉我们，“在整数中做加法和乘法，再映射到右边” 等价于 “先把各个数映射到右边，再做加法和乘法”。

这个同态的精妙之处在于：做后者的计算，要比前者简单许多。我们剔除了那些拖累计算的冗余信息，保留住了刚刚需要的那些。

举个例子

我们要验证 321 能否被 3 整除，就是检验 321 是否在 0 这个模 3 等价类之中，即

是否成立。

321 就是我们在整数环

中我们做如下加法乘法的结果，

而同态告诉我们，先做加法乘法再

，得到的结果和先

再加法乘法等价，于是，

其中的精妙之处在于

，于是同态之后幂全部变成了

.

如果

，那么在

进制下，数字各位之和能被

整除的数也能被

整除。

同理可得

, 十进制下各位之和能被

整除的数能被

整除。

，七进制下各位之和能被

整除的数能被

整除。

，

十六进制下各位之和能被

整除的数能被

整除，各位之和能被

整除的数能被

整除。

另外，小学数学还告诉我们：

一个数是否能被 2 整除，只需看个位数就行了。

因为，在上面的环同态中，

，而

，从而十位、百位、千位以上的数字神奇地消失了，只留下了个位！

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