在前前前前前前…的博客中,我们主要谈了欧拉筛和埃氏筛.

今天我们主要来聊一聊线性筛和厄拉多塞筛(其实和埃氏筛和欧拉筛本质上没区别哎).其实在这两种筛法中厄拉多塞筛最好懂(就连本蒟蒻一看代码就明白了…别看这个名字,容易糊弄人)

首先是厄拉多塞筛"粉墨登场":::::::

厄拉多塞筛

厄拉多塞是个人名,因为这种筛法是他提出来的.

我们先讲一下大致的思路,我们example(举个栗子):

有一张写了2~n之间所有数的表,其中就包括这2和n.然后,我们从2开始一直到n划掉2的倍数.划完之后,我们发现3没有被划去,就证明3是质数,然后我们就在3~n当中划去是3倍数的数,以此类推.

此时,厄拉多塞筛的时间复杂度为 $O(n+\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\frac{n}{4}+...+)=O(n log log n)$

既然已经动了厄拉多塞筛的筛质数的方法,我们下面来就有请我们最喜欢的代码大军:

void ispri(){cin>>n>>m;a[1]=1;for(i=n;i<=m;i++){if(a[i]==1){continue;}else{for(j=2*i;j<=m;j+=i)a[j]=1;}}for(i=n;i<=m;i++){if(a[i]==0)cout<<i<<" ";}return;
}

既然代码大军都已经出来了,我们就接着奔赴下一个战场,线性筛

线性筛

由于厄拉多塞筛在筛30=2*3*5类似于这些数的时候,会被2,3,5重复多筛几次,这样就大大耗费的时间复杂度,因此,我们推出了新产品––线性筛.

线性筛的思路就是要保证每一个数都被他的最小质因子筛去.

首先,我们先亮出代码:

void ispri(){for(int i=2;i<=n;i++){if(isp[i]==0) pr[++cnt]=i;for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]*i<=n;j++){isp[i*pr[j]]=1if(i%pr[j]==0) break;}}
}

保证每一个数只被他的最小的质因子筛去,代码中则体现在了i%pr[j]==0上面

pr数组中的质数是递增的,当pr[j]|i时,pr[j]|pj[j+1]i,那么pj[j+ 1]i这个合数应该被pr[j]这个更小的质数筛掉。另外，当pr[j]|i时，pr[j]是i的最小质因子。否则pr[j]是pr[j]i的最小质因子。

我们沿用线性筛的过程，考虑这个问题。首先，线性筛筛出质数的时候，我们需要求这个积性函数在质数处的取值。其次，在for循环中，设k=pr[j]，当k|i时，由上面的讨论，k是i的最小质因子，设k在i中的幂次为a，那么

$f[ki]=\frac{f(k^{a+1})}{f(k^{a})}f(i)$ 。

否则，因为k是质数，那么gcd(k, i) = 1，那么f(ki) =f(k)f(i)。

懂了吗?我们来看下一步

线性筛欧拉函数

例:O(n)求出欧拉函数在1∼n处的所有取值。

由于 $\frac{\varphi (k^{a+1})}{\varphi (k^{a})}=k$ ，为一个定值，所以线性筛欧拉函数很容易。

代码如下:

for(int i=2;i<=n;i++){if(isp[i]==0){pr[++cnt]=i;phi[i]=i-1;}for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]*i<=n;j++){isp[i*pr[j]]=1;if(i%pr[j]==0){phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];break;}phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-1);}
}

线性筛莫比乌斯函数

例:O(n)求出莫比乌斯函数在1∼n处的所有取值。

由于 $\frac{\mu (k^{a+1})}{\mu(k^{a})}=0$ ，为一个定值，所以也很容易。

for(int i=2;i<=n;i++){if(isp[i]==0){pr[++cnt]=i; mu[i]=-1;}for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]*i<=n;j++){isp[i*pr[j]]=1;if(i%pr[j]==0) {mu[i*pr[j]]=0;break;}mu[i*pr[j]]=mu[i]*-1;}
}

线性筛求约数个数

例:O(n)求出约数个数函数τ在1∼n处的所有取值。

由于 $\frac{\tau (k^{a+1})}{\tau (k^{a})}=\frac{a+2}{a+1}$ ，不为一个定值，所以在筛的过程中还要维护i的最小质因子的次数。

for(int i=2;i<=n;i++){if(isp[i]==0){pr[++cnt]=i; tau[i]=2; g[i]=2;}for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]*i<=n;j++){isp[i*pr[j]]=1;if(i%pr[j]==0){tau[i*pr[j]]=(g[i]+1)*tau[i]/g[i];g[i*pr[j]]=g[i]+1;break;}tau[i*pr[j]]=tau[i]*2;g[i*pr[j]]=2;}
}

今天的内容终于讲完了,感谢大家的聆听

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