信息学奥赛一本通 2040：【例5.7】筛选法找质数 (普通筛 线性筛)
【题目链接】
ybt 2040：【例5.7】筛选法找质数
【题目考点】
1. 普通筛法找质数（埃拉托色尼筛法）
基本思想：把从2到N的一组正整数从小到大按顺序排列。从中依次删除2的倍数、3的倍数、5的倍数，直到N\sqrt{N}N的倍数为止，剩余的即为2~N之间的所有质数。
普通筛法复杂度为:O(nloglogn)O(nloglogn)O(nloglogn)
为什么直到N\sqrt{N}N的倍数为止，以下是证明：
- 命题：对于整数n满足N<n≤N\sqrt{N} < n \le NN<n≤N，n是质数，或n是合数时，存在一个整数a满足a≤Na \le \sqrt{N}a≤N，a是n的因数。
- 证明：显然n可以是质数。如果n是合数，使用反证法。
- 假设n是合数时，n的因数（除了1）都大于N\sqrt{N}N。由于n是合数，n至少有两个不为1或n的因数，设为a，b，且存在等式a⋅b⋅x=na\cdot b\cdot x = na⋅b⋅x=n，其中x是某个正整数。
有a>N,b>N⇒a⋅b>N≥na>\sqrt{N}, b>\sqrt{N} \Rightarrow a\cdot b >N\ge na>N,b>N⇒a⋅b>N≥n，即a⋅b>na\cdot b > na⋅b>n
根据a⋅b⋅x=na\cdot b\cdot x = na⋅b⋅x=n，有a⋅b≤na\cdot b \le na⋅b≤n
出现矛盾，因而假设不成立，原命题得证。
2. 线性筛（欧拉筛）
基本思想：让每个合数只通过它最小的质因数被筛掉。
例：
8的最小质因数是2，那么让合数8通过质数2被筛掉。
15的最小质因数是3，那么让合数15通过质数3被筛掉。
普通筛法中，数字可能会被多次筛掉，线性筛中，每个数字只被筛掉一次。
线性筛法复杂度为:O(n)O(n)O(n)
线性筛的字面意思就是该算法的复杂度为线性的。
例：对于合数15
在普通筛法中：看质数3的倍数时，15被筛掉一次，看质数5的倍数时，15被筛掉一次。
在线性筛中： 15只会通过质数3被筛掉一次。
线性筛法中，维护一个质数数组prime[]。
算法如下：
- 每次循环观察一个数字i
- 如果i是质数，加入质数数组
- 无论i是不是质数，都顺序遍历质数数组，取到的质数为prime[j]
- 只要i不是prime[j]的倍数，那么prime[j]就是i*prime[j]的最小质因数。i*prime[j]这个合数通过prime[j]这个最小质因数被筛掉了。
- 如果i是prime[j]的倍数，则跳出循环
原理解释如下：
- 由于prime数组中的质数是递增的，在遍历prime数组的过程中，只要没有遇到i是prime[j]的倍数的情况，那么prime[j]一定是i*prime[j]的最小质因数。当第一次遇到i是prime[j]的倍数的情况时，prime[j]仍然是i*prime[j]的最小质因数。
- 如果继续看prime[j]后面第x个质数（x大于等于1），此时要判断数字Y=i*prime[j+x]是否要被筛掉。由于prime[j+x] > prime[j]，i已经具有更小的质因数prime[j]，所以数字Y的最小质因数是prime[j]而不是prime[j+x]，所以Y这个数不应该在i为这个值时被筛掉，它应该在i为Y/prime[j]时被筛掉。
例：假设i是25。25不是2的倍数，那么2是2*25的最小质因数，25也不是3的倍数，那么3是3*25的最小质因数，25是5的倍数，5仍然是5*25的最小质因数。
25不是7的倍数，7不是7*25的最小质因数了。7*25=175被筛掉的时机是：当i循环到35时，175=35*5，5是175的最小质因数，175通过质数5被筛掉。
【题解代码】
解法1：普通筛法（埃拉托色尼筛法）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{bool isPrime[1005] = {};//isPrime[i]:i是否是质数 int n;cin >> n;for(int i = 2; i <= n; ++i)//初值状态下，把每个数字都标记为质数 isPrime[i] = true;//isPrime[0],与isPrime[1]都为false，0,1都不是质数 for(int i = 2; i <= int(sqrt(n)); ++i){if(isPrime[i]){for(int j = 2*i; j <= n; j += i)//如果一个数字是某质数的倍数，那么把它标记为合数 isPrime[j] = false;}}for(int i = 2; i <= n; ++i){if(isPrime[i])cout << i << endl;}return 0;
}
解法2：线性筛（欧拉筛）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{bool isPrime[1005] = {};//isPrime[i]:i是否是质数 int n, prime[1005], psize = 0;//prime:质数数组 psize:prime数组长度 cin >> n;for(int i = 2; i <= n; ++i)//初值状态下，把每个数字都标记为质数 isPrime[i] = true;//isPrime[0],与isPrime[1]都为false，0,1都不是质数 for(int i = 2; i <= n; ++i){if(isPrime[i])//如果i是质数 prime[++psize] = i;//将i填充到指数数组prime for(int j = 1; j <= psize && i*prime[j] <= n; ++j)//遍历质数数组 {//筛去当前观察的数i与某质数prime[j]的乘积isPrime[i*prime[j]] = false;//i*prime[j]这个数通过prime[j]筛掉 if(i%prime[j] == 0)break;}}for(int i = 2; i <= n; ++i){if(isPrime[i])cout << i << endl;}return 0;
}
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