量化分析师的Python日记【Q Quant 之初出江湖】

本篇中，作为Quant中的Q宗（P Quant 和 Q Quant 到底哪个是未来？)，我们将尝试把之前的介绍的工具串联起来，小试牛刀。

您将可以体验到：

如何使用python内置的数学函数计算期权的价格；
利用 numpy 加速数值计算；
利用 scipy 进行仿真模拟；
使用 scipy 求解器计算隐含波动率；

穿插着，我们也会使用matplotlib绘制精美的图标。

1. 关心的问题

我们想知道下面的一只期权的价格：

当前价 spot : 2.45
行权价 strike : 2.50
到期期限 maturity : 0.25
无风险利率 r : 0.05
波动率 vol : 0.25

关于这样的简单欧式期权的定价，有经典的Black - Scholes [1] 公式：

Call(S,K,r,τ,σ)d1d2= SN(d1)−Ke−rτN(d2),=ln(S/K)+(r+12σ2)τστ√,=d1−στ√.

其中S为标的价格，K为执行价格，r为无风险利率，τ=T−t为剩余到期时间。 N(x)为标准正态分布的累积概率密度函数。Call(S,K,r,τ,σ)为看涨期权的价格。

观察上面的公式，需要使用一些数学函数，我们把它分为两部分：

log,sqrt,exp，这三个函数我们可以从标准库math中找到
标准正态分布的累计概率密度函数，我们使用scipy库中的stats.norm.cdf函数

我们可以使用这个函数计算我们关注期权的结果：

2. 使用numpy加速批量计算

大部分的时候，我们不止关心一个期权的价格，而是关心一个组合（成千上万）的期权。我们想知道，随着期权组合数量的增长，我们计算时间的增长会有多块？

2.1 使用循环的方式

2.2 使用numpy向量计算

numpy的内置数学函数可以天然的运用于向量：

利用 numpy 的数学函数，我们可以重写原先的计算公式 call_option_pricer，使得它接受向量参数。

再观察一下计算耗时，虽然时间仍然是随着规模的增长线性上升，但是增长的速度要慢许多：

让我们把两次计算时间进行比对，更清楚的了解 numpy 计算效率的提升！

3. 使用scipy做仿真计算

期权价格的计算方法中有一类称为蒙特卡洛方法。这是利用随机抽样的方法，模拟标的股票价格随机游走，计算期权价格（未来的期望）。假设股票价格满足以下的随机游走：

dS=rSdt+σSdW(t).

仿真的方法可以模拟到期日的股票价格

ST=S0exp((r−12σ2)T+zσT‾‾√)

这里的z是一个符合标准正态分布的随机数。这样我们可以计算最后的期权价格：

price=exp(−rT)∑i=1Nmax(ST,i−K,0)

标准正态分布的随机数获取，可以方便的求助于 scipy 库：

因为篇幅有限，更多的请看