量化分析师的Python日记【Q Quant兵器谱之函数插值】

在本篇中，我们将介绍Q宽客常用工具之一：函数插值。接着将函数插值应用于一个实际的金融建模场景中：波动率曲面构造。

通过本篇的学习您将学习到：

如何在scipy中使用函数插值模块：interpolate；
波动率曲面构造的原理；

将interpolate运用于波动率曲面构造。

1. 如何使用`scipy`做函数插值

函数插值，即在离散数据的基础上补插连续函数，估算出函数在其他点处的近似值的方法。在`scipy`中，所有的与函数插值相关的功能都在`scipy.interpolate`模块中

from scipy import interpolate

dir(interpolate)[:5]

['Akima1DInterpolator','BPoly','BarycentricInterpolator','BivariateSpline','CloughTocher2DInterpolator']

作为介绍性质的本篇，我们将只关注interpolate.spline的使用，即样条插值方法：

xk离散的自变量值，为序列
yk对应xk的函数值，为与xk长度相同的序列
xnew需要进行插值的自变量值序列
order样条插值使用的函数基德阶数，为1时使用线性函数

Interpolate a curve at new points using a spline fitParameters----------xk, yk : array_likeThe x and y values that define the curve.xnew : array_likeThe x values where spline should estimate the y values.order : intDefault is 3.kind : stringOne of {'smoothest'}conds : Don't knowDon't knowReturns-------spline : ndarrayAn array of y values; the spline evaluated at the positions `xnew`.

1.1 三角函数（`np.sin`）插值

一例胜千言！让我们这里用实际的一个示例，来说明如何在scipy中使用函数插值。这里的目标函数是三角函数：

f(x)=sin(x)

假设我们已经观测到的f(x)在离散点x=(1,3,5,7,9,11,13)的值：

1.1 三角函数（np.sin）插值一例胜千言！让我们这里用实际的一个示例，来说明如何在scipy中使用函数插值。这里的目标函数是三角函数：f(x)=sin(x)
假设我们已经观测到的f(x)在离散点x=(1,3,5,7,9,11,13)的值：

首先我们使用最简单的线性插值算法，这里面只要将spline的参数order设置为1即可：

xnew = np.linspace(1.0,13.0,500)
ynewLinear = interpolate.spline(x,y,xnew,order = 1)
ynewLinear[:5]

array([ 0.84147098,  0.83304993,  0.82462888,  0.81620782,  0.80778677])

最后我们获得真实的 sin(x) 的值：

ynewReal = np.sin(xnew)
ynewReal[:5]

让我们把所有的函数画到一起，看一下插值的效果。对于我们这个例子中的目标函数而言，由于本身目标函数是光滑函数，则越高阶的样条插值的方法，插值效果越好。

pylab.figure(figsize = (16,8))
pylab.plot(xnew,ynewReal)
pylab.plot(xnew,ynewLinear)
pylab.plot(xnew,ynewCubicSpline)
pylab.scatter(x,y, s = 160, marker='x', color = 'k')
pylab.legend([u'真实曲线', u'线性插值', u'样条插值', u'$f(x)$离散点'], prop = font)
pylab.title(u'$f(x)$不同插值方法拟合效果：线性插值 v.s 样条插值', fontproperties = font)

2. 函数插值应用 —— 期权波动率曲面构造

市场上期权价格一般以隐含波动率的形式报出，一般来讲在市场交易时间，交易员可以看到类似的波动率矩阵（Volatilitie Matrix):

import pandas as pd
pd.options.display.float_format = '{:,>.2f}'.format
dates = [Date(2015,3,25), Date(2015,4,25), Date(2015,6,25), Date(2015,9,25)]
strikes = [2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6]
blackVolMatrix = np.array([[ 0.32562851,  0.29746885,  0.29260648,  0.27679993],[ 0.28841840,  0.29196629,  0.27385023,  0.26511898],[ 0.27659511,  0.27350773,  0.25887604,  0.25283775],[ 0.26969754,  0.25565971,  0.25803327,  0.25407669],[ 0.27773032,  0.24823248,  0.27340796,  0.24814975]])
table = pd.DataFrame(blackVolMatrix * 100, index = strikes, columns = dates, )
table.index.name = u'行权价'
table.columns.name = u'到期时间'
print u'2015年3月3日10时波动率矩阵'
table

交易员可以看到市场上离散值的信息，但是如果可以获得一些隐含的信息更好：例如，在2015年6月25日以及2015年9月25日之间，波动率的形状会是怎么样的？

2.1 方差曲面插值

我们并不是直接在波动率上进行插值，而是在方差矩阵上面进行插值。方差和波动率的关系如下：

Var(K,T)=σ(K,T)2T

所以下面我们将通过处理，获取方差矩阵（Variance Matrix):

evaluationDate = Date(2015,3,3)
ttm = np.array([(d - evaluationDate) / 365.0 for d in dates])
varianceMatrix = (blackVolMatrix**2) * ttm
varianceMatrix

array([[ 0.00639109,  0.0128489 ,  0.02674114,  0.04324205],[ 0.0050139 ,  0.01237794,  0.02342277,  0.03966943],[ 0.00461125,  0.01086231,  0.02093128,  0.03607931],[ 0.00438413,  0.0094909 ,  0.02079521,  0.03643376],[ 0.00464918,  0.00894747,  0.02334717,  0.03475378]])

这里的值varianceMatrix就是变换而得的方差矩阵。

下面我们将在行权价方向以及时间方向同时进行线性插值，具体地，行权价方向：

Var(K,t)=K2−KK2−K1Var(K1,t)+K−K1K2−K1Var(K2,t)

时间方向：

Var(K)=t2−tt2−t1Var(K,t1)+t−t1t2−t1Var(K,t2)

这个过程在scipy中可以直接通过interpolate模块下interp2d来实现：

ttm 时间方向离散点
strikes 行权价方向离散点
varianceMatrix 方差矩阵，列对应时间维度；行对应行权价维度
kind = 'linear' 指示插值以线性方式进行

interp = interpolate.interp2d(ttm, strikes, varianceMatrix, kind = 'linear')

array([ 0.00639109])

最后我们获取整个平面上所有点的方差值，再转换为波动率曲面。

sMeshes = np.linspace(strikes[0], strikes[-1], 400)
tMeshes = np.linspace(ttm[0], ttm[-1], 200)
interpolatedVarianceSurface = np.zeros((len(sMeshes), len(tMeshes)))
for i, s in enumerate(sMeshes):for j, t in enumerate(tMeshes):interpolatedVarianceSurface[i][j] = interp(t,s)interpolatedVolatilitySurface = np.sqrt((interpolatedVarianceSurface / tMeshes))
print u'行权价方向网格数：', np.size(interpolatedVolatilitySurface, 0)
print u'到期时间方向网格数：', np.size(interpolatedVolatilitySurface, 1)

行权价方向网格数：

400 到期时间方向网格数： 200

选取某一个到期时间上的波动率点，看一下插值的效果。这里我们选择到期时间最近的点：2015年3月25日：

pylab.figure(figsize = (16,8))
pylab.plot(sMeshes, interpolatedVolatilitySurface[:, 0])
pylab.scatter(x = strikes, y = blackVolMatrix[:,0], s = 160,marker = 'x', color = 'r')
pylab.legend([u'波动率（线性插值）', u'波动率（离散）'], prop = font)
pylab.title(u'到期时间为2015年3月25日期权波动率', fontproperties = font)

最终，我们把整个曲面的图像画出来看看：

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cmmaturityMesher, strikeMesher = np.meshgrid(tMeshes, sMeshes)
pylab.figure(figsize = (16,9))
ax = pylab.gca(projection = '3d')
surface = ax.plot_surface(strikeMesher, maturityMesher, interpolatedVolatilitySurface*100, cmap = cm.jet)
pylab.colorbar(surface,shrink=0.75)
pylab.title(u'2015年3月3日10时波动率曲面', fontproperties = font)
pylab.xlabel("strike")
pylab.ylabel("maturity")
ax.set_zlabel(r"volatility(%)")

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