量化分析师的Python日记【Q Quant兵器谱 -之偏微分方程1】

从今天开始我们将进入一个系列 —— 偏微分方程。作为这一系列的开篇，我们以热传导方差为引子，引出：

如何提一个偏微分方程的初边值问题；
利用差分格式将偏微分方程离散化；
显示差分格式；
显示差分格式的条件稳定性。

最后一点将作为伏笔，引出我们下一天的学习：无条件稳定格式。

1. 热传导方程

我们这里使用1D热传导方程作为例子：

⎧⎩⎨⎪⎪uτ−κuxx\[3pt]u(x,0)\[3pt]u(0,τ)\[3pt]u(1,τ)=0,0≤x≤1[1]=4x(1−x),0≤x≤1[2]=0,τ≥0[3]=0,τ≥0[4]

其中：

κ 称为热传导系数
[2] 称为方程的初值条件（Initial Condition)
[3][4] 称为方程的边值条件（Boundaries Condition）。这里我们使用Dirichlet条件

我们可以看一下初值条件的形状:

from matplotlib import pylab
import seaborn as sns
import numpy as np
from CAL.PyCAL import *
font.set_size(20)def initialCondition(x):return 4.0*(1.0 - x) * xxArray = np.linspace(0,1.0,50)
yArray = map(initialCondition, xArray)
pylab.figure(figsize = (12,6))
pylab.plot(xArray, yArray)
pylab.xlabel('$x$', fontsize = 15)
pylab.ylabel('$f(x)$', fontsize = 15)
pylab.title(u'一维热传导方程初值条件', fontproperties = font)

2. 显式差分格式

这里的基本思想是用差分格式替换对应的微分形式，并且期盼两种格式的"误差"在网格足够密的情况下会趋于0。我们分别在时间方向以及空间方向做差分格式：

\begin{align}\frac{\partial u(x_j, \tau_k)}{\partial\tau} &= \frac{u_{j,k+1} - u_{j,k}}{\Delta \tau} + O(\Delta \tau) \\\\\frac{\partial^2 u(x_j, \tau_k)}{\partial x^2} &= \frac{u_{j-1,k} - 2u_{j,k} + u_{j+1,k}}{\Delta x^2} + O(\Delta x^2) \\\\\end{align}

合并在一起，我们就得到了原始微分方程的差分格式：

\begin{align}u_{\tau}(x_j,\tau_k) - \kappa u_{xx}(x_j,\tau_k) &= 0 \\\\\frac{u_{j,k+1} - u_{j,k}}{\Delta \tau} - \kappa \frac{u_{j-1,k} - 2u_{j,k} + u_{j+1,k}}{\Delta x^2} &= O(\Delta \tau) + O(\Delta x^2)\end{align}

这里我们使用差分网格上的近似值Uj,k代替uj,k，得到新的方程：

\begin{align}&\frac{U_{j,k+1} - U_{j,k}}{\Delta \tau} - \kappa \frac{U_{j-1,k} - 2U_{j,k} + U_{j+1,k}}{\Delta x^2} &= 0, \\\\\Rightarrow& \quad U_{j,k+1} - U_{j,k} - \frac{\kappa\Delta \tau}{\Delta x^2}(U_{j-1,k} - 2U_{j,k} + U_{j+1,k}) &= 0, \\\\\Rightarrow& \quad U_{j,k+1} - U_{j,k} - \rho(U_{j-1,k} - 2U_{j,k} + U_{j+1,k}) &= 0.\end{align}

到这里我们得到一个迭代方程组：

Uj,k+1=ρUj−1,k+(1−2ρ)Uj,k+ρUj+1,k,1≤j≤N−1,0≤k≤M−1

其中 ρ=κΔτΔx2。下面我们使用Python代码实现上面的过程。

首先定义基本变量：

N 空间方向的网格数
M 时间方向的网格数
T 最大时间期限
X 最大空间范围
U 用来存储差分网格点上值得矩阵

N = 25   # x方向网格数
M = 2500  # t方向网格数T = 1.0
X = 1.0xArray = np.linspace(0,X,N+1)
yArray = map(initialCondition, xArray)starValues = yArray
U = np.zeros((N+1,M+1))
U[:,0] = starValues

dx = X / N
dt = T / M
kappa = 1.0
rho = kappa * dt / dx / dx

这里我们做正向迭代：迭代时k=0,1...M−1, 代表我们从0时刻运行至T

for k in range(0, M):for j in range(1, N):U[j][k+1] = rho * U[j-1][k] + (1. - 2*rho) * U[j][k] + rho * U[j+1][k]U[0][k+1] = 0.U[N][k+1] = 0.

我们可以画出不同时间点U(,˙τk) 的结果：

pylab.figure(figsize = (12,6))
pylab.plot(xArray, U[:,0])
pylab.plot(xArray, U[:, int(0.10/ dt)])
pylab.plot(xArray, U[:, int(0.20/ dt)])
pylab.plot(xArray, U[:, int(0.50/ dt)])
pylab.xlabel('$x$', fontsize = 15)
pylab.ylabel(r'$U(\dot, \tau)$', fontsize = 15)
pylab.title(u'一维热传导方程', fontproperties = font)
pylab.legend([r'$\tau = 0.$', r'$\tau = 0.10$', r'$\tau = 0.20$', r'$\tau = 0.50$'], fontsize = 15)

也可以通过三维立体图看一下整体的热传导过程：

tArray = np.linspace(0, 0.2, int(0.2 / dt) + 1)
xGrids, tGrids = np.meshgrid(xArray, tArray)

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cmfig= pylab.figure(figsize = (16,10))
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = '3d')
surface = ax.plot_surface(xGrids, tGrids, U[:,:int(0.2 / dt) + 1].T, cmap=cm.coolwarm)
ax.set_xlabel("$x$", fontdict={"size":18})
ax.set_ylabel(r"$\tau$", fontdict={"size":18})
ax.set_zlabel(r"$U$", fontdict={"size":18})
ax.set_title(u"热传导方程 $u_\\tau = u_{xx}$" , fontproperties = font)
fig.colorbar(surface,shrink=0.75)

3. 组装起来

就像在前一天二叉树建模中介绍的一样，我们这里会以面向对象的方式重新封装分散的代码，方便复用。首先是方程的描述：

class HeatEquation:    def __init__(self, kappa, X, T,initialConstion = lambda x:4.0*x*(1.0-x), boundaryConditionL = lambda x: 0, boundaryCondtionR = lambda x:0):self.kappa = kappaself.ic = initialConstionself.bcl = boundaryConditionLself.bcr = boundaryCondtionRself.X = Xself.T = T

下面的是显式差分格式的描述：

class ExplicitEulerScheme:    def __init__(self, M, N, equation):self.eq = equationself.dt = self.eq.T / Mself.dx = self.eq.X / Nself.U = np.zeros((N+1, M+1))self.xArray = np.linspace(0,self.eq.X,N+1)self.U[:,0] = map(self.eq.ic, self.xArray)self.rho = self.eq.kappa * self.dt / self.dx / self.dxself.M = Mself.N = Ndef roll_back(self):for k in range(0, self.M):for j in range(1, self.N):self.U[j][k+1] = self.rho * self.U[j-1][k] + (1. - 2*self.rho) * self.U[j][k] + self.rho * self.U[j+1][k]self.U[0][k+1] = self.eq.bcl(self.xArray[0])self.U[N][k+1] = self.eq.bcr(self.xArray[-1])def mesh_grids(self):tArray = np.linspace(0, self.eq.T, M+1)tGrids, xGrids = np.meshgrid(tArray, self.xArray)return tGrids, xGrids

有了以上的部分，现在整个过程可以简单的通过初始化和一行关于roll_back的调用完成：

ht = HeatEquation(1.,1.,1.)
scheme = ExplicitEulerScheme(2500,25, ht)
scheme.roll_back()

我们可以获取与之前相同的图像：

tGrids, xGrids = scheme.mesh_grids()
fig= pylab.figure(figsize = (16,10))
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = '3d')
cutoff = int(0.2 / scheme.dt) + 1
surface = ax.plot_surface(xGrids[:,:cutoff], tGrids[:,:cutoff], scheme.U[:,:cutoff], cmap=cm.coolwarm)
ax.set_xlabel("$x$", fontdict={"size":18})
ax.set_ylabel(r"$\tau$", fontdict={"size":18})
ax.set_zlabel(r"$U$", fontdict={"size":18})
ax.set_title(u"热传导方程 $u_\\tau = u_{xx}$" , fontproperties = font)
fig.colorbar(surface,shrink=0.75)

4. 什么时候显式格式会失败？

显式格式不能任意取时间和空间的网格点数，即M与N不能随意取值。我们称显式格式为条件稳定。特别地，需要满足所谓CFL条件（Courant–Friedrichs–Lewy）：

0≤ρ=κΔτΔx2≤0.5

例如：

M = 2500
N = 25

则：

ρ=κΔτΔx2=0.25≤0.5

M = 1200
N = 25

则：

ρ=κΔτΔx2=0.521≥0.5

下面的代码计算在第二种情形下的网格点计算过程：

ht = HeatEquation(1.,1.,1.)
scheme = ExplicitEulerScheme(1200,25, ht)
scheme.roll_back()

我们可以通过下图看到，在CFL条件无法满足的情况下，数值误差累计的结果（特别注意后面的锯齿）：

tGrids, xGrids = scheme.mesh_grids()
fig= pylab.figure(figsize = (16,10))
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = '3d')
cutoff = int(0.2 / scheme.dt) + 1
surface = ax.plot_surface(xGrids[:,:cutoff], tGrids[:,:cutoff], scheme.U[:,:cutoff], cmap=cm.coolwarm)
ax.set_xlabel("$x$", fontdict={"size":18})
ax.set_ylabel(r"$\tau$", fontdict={"size":18})
ax.set_zlabel(r"$U$", fontdict={"size":18})
ax.set_title(u"热传导方程 $u_\\tau = u_{xx}$, $\\rho = 0.521$" , fontproperties = font)
fig.colorbar(surface,shrink=0.75)

今天的日记到此为止，还想继续了解的请戳

我们会在下一篇中进行讨论，引出无条件稳定格式：隐式差分格式（Implicit）。