高等数学:微分、积分物理以及几何意义
目录
0、前言
1、微分
1.1、一元微分
1.1.1、微分的来由
1.1.2、微分的定义
1.2、多元微分
1.2.1、邻域
1.2.2、重极限
1.2.3、连续
1.2.4、偏导数
1.2.5、全微分
2、积分
2.1、定积分
2.1.1、几何背景
2.2.2、可积性(充分必要条件)
2.2.3、定积分的性质
0、前言
图像处理中会运用到各种算子,要想搞懂每种算子的使用,首先得有微分积分的基础知识。
1、微分
1.1、一元微分
1.1.1、微分的来由
微分<------------------>近似值<---------------->直线增量去近似代替曲线增量的那个直线增量部分---->记号dy------->y的微分---------->dy=Adx
1.1.2、微分的定义
是直线的增量去代替曲线的增量,那么问题来了,A到底是什么东西?
由前边由来可知,A应该是直线的导数,这个直线导数是曲线在该点切线的斜率,因此A应当是导数。
由此推导出来的定理:
在处可微的充分必要条件是在处可导。
可微必可导的证明:
所以一元函数可导和可微是等价的,但是两者的概念不一样。(可导的概念是变化率,而且是个瞬时变化率;而可微的概念是一个近似代替的问题,能不能用直线增量去近似代替曲线增量的问题)(即可导是一个瞬时变化率的问题,可微是一个近似值,但是他们两个在一元函数里边是相互等价的)
将上式左移,
导数和微分的几何意义:
1.2、多元微分
一元与多元的区分就是由原来的一个自变量,变成了多个自变量。
1.2.1、邻域
邻域概念:第二个趋近于邻域是把中间点p给扣掉(大于0就保证取不到中间点p)。
二元函数的几何意义:其实就是形成了一个二维曲面。
1.2.2、重极限
1.2.3、连续
1.2.4、偏导数
一元函数导数:
多元函数偏导数:
对x偏导数:(对x求偏导,把y看成始终不变的 )
对y的偏导数:
偏导数的几何意义:
高阶偏导数:
连续指的是混合偏导数连续。
1.2.5、全微分
2、积分
2.1、定积分
2.1.1、几何背景
几何背景:就是曲边梯形的面积。曲边梯形的面积(任意划分,看成小矩形的面积)
Q:如何求一个函数与x=a,x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积?
A:首先对曲边梯形任意的划分,然后找一个作为代表,把它近似看作一个小矩形,找其宽度 ,并取一点,找到该点的函数值, 对划分的任意多个小矩形都找一点以及该点对应值,相乘(相当于长和宽)并求和,求和就相当于n个矩形的面积加起来。
趋近于0,每一个区间都有直径,表示n个小区间里边直径的最大值,直径的最大值都趋近于0,保证了你划分的精细程度。
定积分的概念:
划分、取 点、求和、取极限。
将上述极限值定义为 一元函数y=f(x)在闭区间a到b上的一个定积分(如果 极限存在,并把该极限定义为f(x)在这个区间上的定积分)。
定积分的几何意义:n项和的极限。
2.2.2、可积性(充分必要条件)
PS:可积一般指定积分。
2.2.3、定积分的性质
PS:知道了微分和积分的知识,接下来就是一阶微分、二阶微分、以及积分在图像处理中的应用。
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