复指数信号正交性的简单证明

复指数信号为：

$\mathop e\nolimits_k [n] = \mathop e\nolimits^{j{{2\pi } \over N}kn} {\rm{ , }}k = 0,1, \cdot \cdot \cdot ,N - 1$ .

写成矢量形式：

$\mathop e\nolimits_k = (\mathop e\nolimits_k [0],\mathop e\nolimits_k [1], \cdot \cdot \cdot ,\mathop e\nolimits_k [N - 1]),k = 0,1, \cdot \cdot \cdot ,N - 1.$

复指数信号两两正交，也就是两个复指数信号的内积有如下表示：

$\left\langle {\mathop e\nolimits_k ,\mathop e\nolimits_l } \right\rangle = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\mathop e\nolimits_k [n]\overline {\mathop e\nolimits_l [n]} } =\left\{\begin{matrix} N,k=l\\ 0,k\ne l \end{matrix}\right.$

将上式内积形式展开：

$\left\langle {\mathop e\nolimits_k ,\mathop e\nolimits_l } \right\rangle = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\mathop e\nolimits^{j{{2\pi } \over N}(k - l)n} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {[\cos [{{2\pi } \over N}(k - l)] + i\sin [{{2\pi } \over N}(k - l)]]}$

当k=l时，所有cos项=1，sin项=0，求和为N。

当 $k \ne l$ 时，将求和符号中的各项逐项列出：

$\cos {{2\pi } \over N}0 + i\sin {{2\pi } \over N}0$

$\cos {{2\pi } \over N}1 + i\sin {{2\pi } \over N}1$

$\cos {{2\pi } \over N}2 + i\sin {{2\pi } \over N}2$

$\begin{matrix} ...... \\ ...... \\ \end{matrix}$

$\cos {{2\pi } \over N}(N - 1) + i\sin {{2\pi } \over N}(N - 1)$

上述所有各项求和，其中：

$\cos {{2\pi } \over N}0=1, \sin {{2\pi } \over N}0=0$

求和可以用图解法简单说明，每一个求和项对应一个向量，每个向量之间的“相位差”为 ${{{2\pi } \over N}}$ ，即向量在单位圆中按照 ${{{2\pi } \over N}}$ 为一个步长，将单位圆均分。上述各向量，X方向（cos）分量之和为0，Y方向（sin）分量之和也为0。即：内积为0，正交。

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