记录我对复指数信号的理解和学习过程
前言
本人水平有限，文章仅作为自己的学习记录，且多用不严谨的、通俗易懂的语言去介绍。如有错误，希望大佬们多多批评指正。
系列文章01——记录我对傅里叶级数的理解和学习过程
系列文章02——记录我对傅里叶变换的理解和学习过程
本节是为了填之前的坑，在介绍傅里叶级数的时候引入了复指数形式的傅里叶级数，是由欧拉公式推过来的。可是为什么会有复指数？欧拉公式怎么理解？复指数还有什么用？这些问题都是我之前很好奇的问题，很遗憾，我仍然没有搞明白为什么会有复指数，但是我可以介绍一下复指数和欧拉公式怎么理解，以及在通信中的典型应用。
一、历史小故事
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。欧拉出生于牧师家庭，13岁时读大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。法国数学家拉普拉斯认为：读读欧拉，他是所有人的老师。
参考文献：百度百科
二、e！？IQ调制！？
2.1自然数e最初来历以及它为什么“自然”了？
自然数e的来历最早来自于银行存钱“复利”的概念。如下图所示：
e=2.7.......无限不循环小数。
以上例子抽象出来的模型实际上是高数中的一个重要极限。大概对e有一个印象了之后，我们还是没有明白e到底怎么“自然了”？
我们直接截图百度百科中关于以e为底的对数螺线的概念。
像不像大自然里蜗牛的壳子......够自然吗？【狗头】
2.2复指数函数
曾经有一段时间在学复变函数的时候，看到e^(i*pi)，很懵，i是虚数，（i*pi）个e相乘，是什么啊？？？这没意义啊？？？其实我当时这么想，就是感受不到“数学之美”。
如果我换个逻辑，假如这个世界上真的就是存在一个“造物主”，它将自然界一系列巧妙的东西联系起来，而人类发现了这种联系，伟大的数学家用公式把它描述出来，进而有了复指数、欧拉公式。我们需要做的就是去通过这个公式，去感受这个世界的巧妙。
这样说，会不会方便我们去学习理解？下面放上一个up的视频，在视频中，他先举例讲述了e=2.7...怎么来的；再将例子抽象出来，讲述了什么是指数函数；最后将数域扩展，从几何的角度让我们观察到复指数函数和圆千丝万缕的联系。
用几何直觉理解欧拉公式！【中学生也能懂|manim】_哔哩哔哩_bilibili
2.3欧拉公式的可视化
还是和前文一样，我到今天怎么也想不懂为何欧拉能发现所谓的“上帝创造的公式”——欧拉公式。但是我换个逻辑，假如这一切真的都是有个“造物者”联系起来，并且被人类发现，由数学家表示。那我们只需要感叹“造物者”真牛就行了，不必站在“造物者”和数学家的角度想问题。
下面放上一个UP主搬运的视频，很短只有几十秒，但足以展现出一个事实：欧拉公式将三角函数的定义域从实数域，扩展到了复数，建立了三角函数和复指数函数的联系。
动画演绎欧拉公式！_哔哩哔哩_bilibili
原本学习复指数函数的时候，如果只看二维复平面，那就是一个圆，有一个单位向量不停地在圆上转圈。
上述视频加入了时间轴t，展现了一个三维的图像。我们发现，欧拉公式中出现的三角函数，直接被直观地展现在了视频中，原因是加入了一个时间轴t。此时我们不叫它复指数函数，而是复指数信号！
2.4IQ调制
接下来，进入通信的内容！我会结合前面两篇文章介绍的傅里叶级数、傅里叶变换、时域频域概念，以及今天认识到的复指数信号和欧拉公式可视化，再加上一点点信号与系统的知识，用通俗的语言解释一下IQ调制的缘由。
2.4.1双边带信号会造成资源浪费
如图，负频率无意义，但是由于复指数信号中引入虚数概念的缘故，傅里叶变换后频谱变成了偶函数。在射频调制中，经过和载波相乘，频谱被搬移到wc这个频段。此时上边带其实已经携带了原信号的信息了，下边带占用频谱资源没有必要，会造成资源的浪费，我们要想办法把下边带“砍掉”，变成单边带。
2.4.2用阶跃函数砍掉一半频谱！
怎么砍掉一半呢？我们想到了信号与系统中学习到的阶跃函数。我们利用它帮助我们产生单边带信号！
如图所示，频域相乘，S(w)*2U(w)，得到了单边带。这里阶跃函数为什么乘2，是为了后面推导公式方便，乘2无所谓，只是幅值扩大两倍，频率成分没有变，原信号的信息没有丢失。在射频调制中，对这个单边带信号进行调制，就节省了资源。
2.4.3刚刚频域相乘得到的单边带信号时域表达式是什么？引出Hilbert变换！
在2.4.2中我们在频域将原信号的频谱砍了一半，变成了单边带信号，再进行射频调制就节省了资源。可是这个单边带信号如何在时域中表示呢？我们都不知道它在更贴近我们生活的时域中长什么样子呀？所以本节我们利用傅里叶逆变换，找出这个单边带信号的时域表达式，并且在推导过程中，会偶遇到我们通信中大名鼎鼎的希尔伯特变换！
如上图
第一张图我推导了单边带信号的时域表达式，并且引出了希尔伯特变换。s(t)先做希尔伯特变换并且乘以一个j，再加上s(t),最终得到我们要的单边带信号的时域表达式。
第二张图作者提出了一个问题，射频调制中，我们拿这个单边带信号的时域表达式，如果乘上载波信号cos(wct)，会发现最后的已调信号的实部，竟然又出现了s(t).cos(wct)，和2.4.2节图中一样了，又出现了双边带，没有达到省资源的目的。所以在射频调制的时候，问题出在载波信号，我们不应该拿cos(wct)当载波。那到底该乘上什么样的载波信号呢？
2.4.4从理论上实现单边带信号的发送
接着上一小节推导，我们用载波coswct不行，那用什么？答曰：复指数信号。且看我推导。
如图，用复指数信号去调制，得到的已调信号取实部，做傅里叶变换，完美在wc处得到上边带！虚部我没有证明，对虚部做傅里叶变换，仍然可以得到同样的结论！
现在我们终于从理论上实现了单边带信号的发送，节省了一半的频谱资源。
问题还没有结束，这是理论上的，实际上，希尔伯特变换很难实现，而且去哪里找一个复指数信号作载波？我们好像刚从理论上实现单边带信号的发送，结果又陷入了困难。怎么办，IQ调制登场！
2.4.5千呼万唤始出来——IQ调制
梳理一下本次文章的思路：通过分享几个up的视频和自己的理解，介绍了自然数e的由来、指数函数概念、复指数函数概念、欧拉公式可视化、复指数信号和三角函数的关系；之后举了射频调制时双边带信号浪费频谱资源的问题，进行了一系列公式推导，引出了希尔伯特变换，并且利用了复指数，达到了理论上的单边带信号。现在回到实际生活中，看看IQ调制。
在推公式之前，先放一条结论：希尔伯特变换省了一半的频谱资源换来信息不变；IQ调制利用理论，做了一个“减法创新”，虽然没有省频谱资源，但是换来了双倍的信息。
如上图所示，这里是我自己的想法，有可能错的离谱，请大佬们指正！！！
如上图所示的推导过程，仿照2.4.4节 的射频调制过程，我取一个复基带信号，乘以复载波，得到的已调信号取实部，就是IQ调制中的IQ信号【x(t).cos(wct)-y(t).sin(wct)】，对它进行傅里叶变换，发现频谱的中心频率都处于wc处，但是幅度不一样，一个幅度为实数，另一个幅度为虚部。频谱占用不变，但是传了x(t)和y(t)两个信息。这样的频谱在信道中传输，我把它理解为一个复信道，接收端解调IQ信号的框图如下图所示。由于现在比较晚了，要睡觉了，解调端不想再算了。仍然使用时域乘积-频域卷积的方式，最后可以恢复出x(t)和y(t).
IQ调制解调框图
参考文献：《通信之道》杨学志，鲜枣课堂《数字信号处理》
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