ARIMA模型的定阶原理与建模分析

前言
一：AR(p)(p)(p)模型的定阶原理
二：MA(q)(q)(q)模型的定阶原理
三：ARMA模型
四：实际建模运用
五：建模结果比较分析
六：总结

前言

ARIMA模型是很经典的自回归模型，这篇文章将全面的讲述ARIMA的建模步骤。从定阶原理解释到实际数据代码编写模型来进行回归预测。基于理论推导和代码编写一气呵成！

岁月如云，匪我思存，写作不易，望路过的朋友们点赞收藏加关注哈，在此表示感谢！

一：AR(p)(p)(p)模型的定阶原理

AR模型是一个线性模型，p阶自回归模型的一般表达式为：

xt=ϕ0+ϕ1xt−1+ϕ2xt−2+...+ϕpxt−p+εt(#)x_t=\phi_0+\phi_1x_{t-1}+\phi_2x_{t-2}+...+\phi_px_{t-p}+\varepsilon_t(\#)xt=ϕ0+ϕ1xt−1+ϕ2xt−2+...+ϕpxt−p+εt(#) ，

其中 {εt}\{\varepsilon_t\}{εt} 是一个白噪声序列，既然AR模型被建立，此AR模型是满足弱平稳条件的，则存在 ∣ϕp∣<1\left| \phi_p \right|<1∣ϕp∣<1和自相关系数，以及E(εt)=0;Var(εt)=σ2;E(εsεt)=0,∀s≠tE(\varepsilon_t)=0;Var(\varepsilon_t)=\sigma^2;E(\varepsilon_s\varepsilon_t)=0,\forall s\ne tE(εt)=0;Var(εt)=σ2;E(εsεt)=0,∀s=t。

首先我们先建立AR(2)模型

xt=ϕ0+ϕ1xt−1+ϕ2xt−2+εt,∣ϕ1∣<1,∣ϕ2∣<1(∗)x_t=\phi_0+\phi_1x_{t-1}+\phi_2x_{t-2}+\varepsilon_t,\left| \phi_1 \right|<1,\left| \phi_2\right|<1(*)xt=ϕ0+ϕ1xt−1+ϕ2xt−2+εt,∣ϕ1∣<1,∣ϕ2∣<1(∗)

那么我们对上式 (*) 左右两边各减去 uuu 得：
xt−μ=ϕ0+ϕ1(xt−1−u)+ϕ2(xt−2−u)+(ϕ1+ϕ2−1)μ+εt(1)x_t-\mu=\phi_0+\phi_1(x_{t-1}-u)+\phi_2(x_{t-2}-u)+(\phi_1+\phi_2-1)\mu+\varepsilon_t (1)xt−μ=ϕ0+ϕ1(xt−1−u)+ϕ2(xt−2−u)+(ϕ1+ϕ2−1)μ+εt(1) ，

又由弱平稳性质， (∗)(*)(∗) 两边取均值可得：

μ=ϕ0+ϕ1E(xt−1)+ϕ2E(xt−2)+E(εt)\mu=\phi_0+\phi_1E(x_{t-1})+\phi_2E(x_{t-2})+E(\varepsilon_t)μ=ϕ0+ϕ1E(xt−1)+ϕ2E(xt−2)+E(εt) ,

即 μ=ϕ0+ϕ1μ+ϕ2μ+0⇒μ=ϕ01−ϕ1−ϕ2\mu=\phi_0+\phi_1\mu+\phi_2\mu+0\Rightarrow \mu=\frac{\phi_0}{1-\phi_1-\phi_2}μ=ϕ0+ϕ1μ+ϕ2μ+0⇒μ=1−ϕ1−ϕ2ϕ0 ，

那么把此结果带入 (1)(1)(1) 式可得：

xt−μ=ϕ1(xt−1−μ)+ϕ2(xt−2−u)+εt(2)x_t-\mu=\phi_1(x_{t-1}-\mu)+\phi_2(x_{t-2}-u)+\varepsilon_t(2)xt−μ=ϕ1(xt−1−μ)+ϕ2(xt−2−u)+εt(2) ，

(2)(2)(2) 式两边乘以 (xt−1−u)(x_{t-1}-u)(xt−1−u):

(xt−μ)(xt−1−u)=ϕ1(xt−1−μ)(xt−1−u)+ϕ2(xt−2−u)(xt−1−u)+εt(xt−1−u)(3)(x_t-\mu)(x_{t-1}-u)=\phi_1(x_{t-1}-\mu)(x_{t-1}-u)+\phi_2(x_{t-2}-u)(x_{t-1}-u)+\varepsilon_t(x_{t-1}-u)(3)(xt−μ)(xt−1−u)=ϕ1(xt−1−μ)(xt−1−u)+ϕ2(xt−2−u)(xt−1−u)+εt(xt−1−u)(3)

(3)(3)(3) 式两边同时取期望后得：

E[(xt−μ)(xt−1−u)]=ϕ1E[(xt−1−μ)(xt−1−u)]+ϕ2E[(xt−2−u)(xt−1−u)](4)E\left[ (x_t-\mu)(x_{t-1}-u) \right]=\phi_1E\left[ (x_{t-1}-\mu)(x_{t-1}-u) \right]+\phi_2E\left[ (x_{t-2}-u)(x_{t-1}-u) \right](4)E[(xt−μ)(xt−1−u)]=ϕ1E[(xt−1−μ)(xt−1−u)]+ϕ2E[(xt−2−u)(xt−1−u)](4)

对 (4)(4)(4) 式两边再除以方差 σ0\sigma_0σ0 之后得 ρ1=ϕ1+ϕ2ρ1\rho_1=\phi_1+\phi_2\rho_1ρ1=ϕ1+ϕ2ρ1 ，这里的 ρ1\rho_1ρ1 为自相关系数。
则可得 ρ1=ϕ1/(1−ϕ2)\rho_1=\phi_1/(1-\phi_2)ρ1=ϕ1/(1−ϕ2) ，同理 (2) 式两边同时乘以 (xt−2−μ)(x_{t-2}-\mu)(xt−2−μ)

可得 ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2\rho_2=\phi_1\rho_1+\phi_2ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2。

同理我们推广 (2)(2)(2) 式两边乘以 (xt−k−μ)(k≥3)(x_{t-k}-\mu)(k\geq3)(xt−k−μ)(k≥3) ，

可得 ρk=ϕ1ρk−1+ϕ2ρk−2\rho_k=\phi_1\rho_{k-1}+\phi_2\rho_{k-2}ρk=ϕ1ρk−1+ϕ2ρk−2 。

从 ρk\rho_kρk 的表达式我们容易发现尽管 ∣ϕ1∣<1,∣ϕ2∣<1\left| \phi_1 \right|<1,\left| \phi_2\right|<1∣ϕ1∣<1,∣ϕ2∣<1 ，但 ρk\rho_kρk 永远不会为0，所以会出现拖尾现象。

接着我们拓展至AR(p)(p)(p)模型

在平稳的前提下，我们容易得 μ=ϕ01−ϕ1−ϕ2−...−ϕp\mu=\frac{\phi_0}{1-\phi_1-\phi_2-...-\phi_p}μ=1−ϕ1−ϕ2−...−ϕpϕ0 ，

将 (#)(\#)(#) 两边减去均值 μ\muμ 可得： xt−μ=ϕ1(xt−1−μ)+ϕ2(xt−2−u)+...+ϕp(xt−p−μ)+εt(5)x_t-\mu=\phi_1(x_{t-1}-\mu)+\phi_2(x_{t-2}-u)+...+\phi_p(x_{t-p}-\mu)+\varepsilon_t(5)xt−μ=ϕ1(xt−1−μ)+ϕ2(xt−2−u)+...+ϕp(xt−p−μ)+εt(5) ，

那么对 (5)(5)(5) 左右两边同乘以 (xt−μ)、(xt−1−μ)、...、(x_t-\mu)、(x_{t-1}-\mu)、...、(xt−μ)、(xt−1−μ)、...、并除以方差 σ0\sigma_0σ0 可得：

1=ϕ1ρ1+ϕ2ρ2+...+ϕpρp,ρ1=ϕ1+ϕ2ρ2+ϕ3ρ3+...+ϕpρp−1,ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2+ϕ3ρ3+...+ϕpρp−2,...,ρp=ϕ1ρp−1+ϕ2ρp−2+ϕ3ρp−3+...+ϕp1=\phi_1\rho_1+\phi_2\rho_2+...+\phi_p\rho_p , \rho_1=\phi_1+\phi_2\rho_2+\phi_3\rho_3+...+\phi_p\rho_{p-1} , \rho_2=\phi_1\rho_1+\phi_2+\phi_3\rho_3+...+\phi_p\rho_{p-2 },..., \rho_p=\phi_1\rho_{p-1}+\phi_2\rho_{p-2}+\phi_3\rho_{p-3}+...+\phi_p1=ϕ1ρ1+ϕ2ρ2+...+ϕpρp,ρ1=ϕ1+ϕ2ρ2+ϕ3ρ3+...+ϕpρp−1,ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2+ϕ3ρ3+...+ϕpρp−2,...,ρp=ϕ1ρp−1+ϕ2ρp−2+ϕ3ρp−3+...+ϕp ，

根据这些关系式，模仿AR(2)的递推关系式可得：
ρk=ϕ1ρk−1+ϕ2ρk−2+...+ϕkρk−p(k≥p)\rho_k=\phi_1\rho_{k-1}+\phi_2\rho_{k-2}+...+\phi_k\rho_{k-p}(k\geq p)ρk=ϕ1ρk−1+ϕ2ρk−2+...+ϕkρk−p(k≥p) ，

因此符合AR(p)AR(p)AR(p)的平稳序列模型，其自相关系数在ppp 阶之后一直不会为0，存在所谓拖尾现象。

二：MA(q)(q)(q)模型的定阶原理

MA(q)MA(q)MA(q)模型被称为移动平均模型，一个 qqq 阶的移动平均模型可以用数学式表达为：
xt=μ+εt+θ1εt−1+θ2εt−2+...+θqεt−qx_t=\mu+\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\theta_2\varepsilon_{t-2}+...+\theta_q\varepsilon_{t-q}xt=μ+εt+θ1εt−1+θ2εt−2+...+θqεt−q ，

那么满足的性质有

E(εt)=0;Var(εt)=σ2;E(εsεt)=0,∀s≠tE(\varepsilon_t)=0;Var(\varepsilon_t)=\sigma^2;E(\varepsilon_s\varepsilon_t)=0,\forall s\ne tE(εt)=0;Var(εt)=σ2;E(εsεt)=0,∀s=t；

E(xt)=μ;Var(xt)=(1+θ12+θ22+...+θq2)σ2E(x_t)=\mu;Var(x_t)=(1+\theta_1^2+\theta_2^2+...+\theta_q^2)\sigma^2E(xt)=μ;Var(xt)=(1+θ12+θ22+...+θq2)σ2

首先我们还是建立MA(2)MA(2)MA(2)模型

如xt=μ+εt+θ1εt−1+θ2εt−2x_t=\mu+\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\theta_2\varepsilon_{t-2}xt=μ+εt+θ1εt−1+θ2εt−2 ，

则 E(xt)=μ,Var(xt)=(1+θ12+θ22)σϵ2E(x_t)=\mu,Var(x_t)=(1+\theta_1^2+\theta_2^2)\sigma_\epsilon^2E(xt)=μ,Var(xt)=(1+θ12+θ22)σϵ2

对于 Var(xt)Var(x_t)Var(xt) ，两边同时被 σ1=Cov(xt,xt−1)\sigma_1=Cov(x_t,x_{t-1})σ1=Cov(xt,xt−1) 相除有

ρ1=Cov(xt,xt−1)(1+θ12+θ22)σ2\rho_1=\frac{Cov(x_t,x_{t-1})}{(1+\theta_1^2+\theta_2^2)\sigma^2}ρ1=(1+θ12+θ22)σ2Cov(xt,xt−1) ，

又Cov(xt,xt−1)=E[(xt−μ)(xt−1−μ)]=E[(εt+θ1εt−1+θ2εt−2)(εt−1+θ1εt−2+θ2εt−3)]=Cov(x_t,x_{t-1})=E\left[ (x_t-\mu)(x_{t-1}-\mu) \right]=E\left[ (\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\theta_2\varepsilon_{t-2})(\varepsilon_{t-1}+\theta_1\varepsilon_{t-2}+\theta_2\varepsilon_{t-3}) \right]=Cov(xt,xt−1)=E[(xt−μ)(xt−1−μ)]=E[(εt+θ1εt−1+θ2εt−2)(εt−1+θ1εt−2+θ2εt−3)]=

E(εt−1εt+θ1εt−2εt+θ2εt−3εt+θ1εt−2εt−1+θ1θ2εt−3εt−1+θ2εt−2εt−1+θ2εt−3εt−2+θ1εt−12+θ1θ2εt−22)E\left( \varepsilon_{t-1}\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-2}\varepsilon_t+\theta_2\varepsilon_{t-3}\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-2}\varepsilon_{t-1}+\theta_1\theta_2\varepsilon_{t-3}\varepsilon_{t-1}+\theta_2\varepsilon_{t-2}\varepsilon_{t-1}+\theta_2\varepsilon_{t-3}\varepsilon_{t-2}+\theta_1\varepsilon_{t-1}^2+\theta_1\theta_2\varepsilon_{t-2}^2\right)E(εt−1εt+θ1εt−2εt+θ2εt−3εt+θ1εt−2εt−1+θ1θ2εt−3εt−1+θ2εt−2εt−1+θ2εt−3εt−2+θ1εt−12+θ1θ2εt−22)
=θ1E(εt−12)+θ1θ2E(εt−22)=\theta_1E(\varepsilon_{t-1}^2)+\theta_1\theta_2E(\varepsilon_{t-2}^2)=θ1E(εt−12)+θ1θ2E(εt−22)

那么最终 ρ1=θ1+θ1θ21+θ12+θ22\rho_1=\frac{\theta_1+\theta_1\theta_2}{1+\theta_1^2+\theta_2^2}ρ1=1+θ12+θ22θ1+θ1θ2。

如果我们相同的方法求解 ρ2=θ21+θ12+θ22\rho_2=\frac{\theta_2}{1+\theta_1^2+\theta_2^2}ρ2=1+θ12+θ22θ2 ，那么 ρ3=0\rho_3=0ρ3=0 这是显然的。

接着我们建立MA(q)MA(q)MA(q)模型

同理对于MA(q)MA(q)MA(q)模型，我们经过相同的运算可得最终表达式

ρl=θl+θ1θl+1+θ2θl+2+...+θq−lθq1+θ12+θ22+...+θq2\rho_l=\frac{\theta_l+\theta_1\theta_{l+1}+\theta_2\theta_{l+2}+...+\theta_{q-l}\theta_q}{1+\theta_1^2+\theta_2^2+...+\theta_q^2}ρl=1+θ12+θ22+...+θq2θl+θ1θl+1+θ2θl+2+...+θq−lθq ，

那么当 l>ql>ql>q 时同理可得 ρl=0\rho_l=0ρl=0 。

所以，通过上述推导我们有理由相信：MA(q)MA(q)MA(q)模型的自相关系数 qqq 阶截尾。所谓qqq 阶截尾意思是在 qqq 阶以后MA(q)MA(q)MA(q)模型的自相关系数立马截止， q+1q+1q+1 阶起就为0。

以上就是通过理论解释了AR§模型和MA(q)模型的拖尾和截尾的底层逻辑。

三：ARMA模型

参数估计过程

当把AR(p)AR(p)AR(p)模型和MA(q)MA(q)MA(q)模型相结合时，我们得到ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型如下：

xt=ϕ0+ϕ1xt−1+...+ϕpxt−p+εt+θ1εt−1+...+θqεt−qx_t=\phi_0+\phi_1x_{t-1}+...+\phi_px_{t-p}+\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+...+\theta_q\varepsilon_{t-q}xt=ϕ0+ϕ1xt−1+...+ϕpxt−p+εt+θ1εt−1+...+θqεt−q

相较于前两个模型，此模型是更具有普遍性。首先我们通过一些定阶模型确定 p,qp,qp,q，当阶数确定后，可以根据最小二乘最大似然估计或者梯度下降法更新所有方程系数。根据模型的表达式一直迭代下去即可完成“无穷的”预测。但是作为长期预测，理论上是可行的，实际确实长期预测所受的干扰因素太多了，除非你的预测数据是周期性、趋势性或者季节性的，那长期还是有点实际意义，否则任何回归模型，还是作为短期预测才有更大的实际意义。

建模过程

1：序列判断

(a)：判断我们需要建立的模型数据是否为平稳序列，若非平稳序列我们要对其进行变换处理（一般用差分方法即可）至平稳序列，

(b)：接着再判断平稳序列时候为白噪声序列，若为白噪声序列则建模结束（白噪声序列无法构成ARMA模型），否则进行下一步。

2：模型估计与建立

(a)：判断 ppp 和 qqq 的值。当我们建立好自回归模型时，为了得到最优的模型结构，我们需要定下 ppp 和 qqq 值。这里的定阶一是可以通过自相关系数ACFACFACF和偏自相关系数PACFPACFPACF大致决定。由上面的理论分析，我们知道AR(pAR(pAR(p)将出现 ppp 阶拖尾，MA(q)MA(q)MA(q)将出现 qqq 阶截尾，

(b)：如果序列的ACFACFACF和PACFPACFPACF不是很明确的话，我们可以用其他模型来定阶。其中就包括AIC和BIC信息准备判别。AIC是一种用于模型选择的指标，同时考虑模型的拟合程度以及简单性，BIC是对AIC的改进，一般来说较小的AIC或者BIC表示在保持模型简单的同时，能够更好的对时间序列进行拟合。

3：模型诊断

即对模型残差进行验证，确保其为服从正态分布的白噪声序列，当模型的残差为白噪声时，说明我们已经将序列的信息充分提取到模型中，建模彻底结束。

在上一篇文章我们对于ARMA模型 xt=∑i=1qθiεt−i+ϕ0+∑j=1pϕjLjxtx_t=\sum_{i=1}^{q}\theta_i{\varepsilon_{t-i}}+\phi_0+\sum_{j=1}^{p}{\phi_jL^jx_t}xt=∑i=1qθiεt−i+ϕ0+∑j=1pϕjLjxt 分析发现，ARMA其实和AR模型在平稳性上的判断是一样的，都有这相同的特征方程，同样可以通过单位根方法判断是否平稳性成立。

上篇文章地址。。。

四：实际建模运用

我们接下来基于实际销量数据开始建立时序模型，首先观察下销量数据可视化结果，由曲线图发现销量的变化明显具有上涨的趋势性，符合自回归移动平均模型的建模直观要求。

图1

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf,plot_pacf
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller as ADF
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import numpy as npyv = np.array([2800,2811,2832,2850,2880,2910,2960,3023,3039,3056,3138,3150,3198,3100,3029,2950,2989,3012,3050,3142,3252,3342,3365,3385,3340,3410,3443,3428,3554,3615,3646,3614,3574,3635,3738,3764,3788,3820,3840,3875,3900,3942,4000,4021,4055])
yv_serie = pd.Series(yv[:-10])##样本外数据def testwhitenoise(data):m = 10# 检验10个自相关系数acf,q,p = sm.tsa.acf(data,nlags=m,qstat=True)out = np.c_[range(1,m+1),acf[1:],q,p]output = pd.DataFrame(out,columns=['lag','自相关系数','统计量Q值','p_values'])output = output.set_index('lag')# 设置第一列索引名称,可省略重复索引列1print(output)def teststeady(data,count=0):res_ADF = ADF(data)print('ADF检验结果为：', res_ADF)Pv = res_ADF[1]if Pv > 0.05:print('\033[1;31mP值：%s，原始序列不平稳，要进行差分！\033[0m' % round(Pv,5))count = count + 1print('\033[1;32m进行了%s阶差分后的结果如下\033[0m' % count)data = data.diff(1).dropna()teststeady(data,count)else:print('\033[1;34mP值：%s，原始序列平稳，继续建模\033[0m'% round(Pv,5))
testwhitenoise(yv_serie)
teststeady(yv_serie)

图2

图2就是平稳性和自相关性（白噪声）检验的结果，我们发现当进行一阶差分后序列平稳，按照建模步骤我们接下来开始定阶。

def confirm_p_q(data):fig = plt.figure(figsize=(8,6))testwhitenoise(data)train = teststeady(data)ax1 = fig.add_subplot(211)fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(train, lags=10, ax=ax1)ax2 = fig.add_subplot(212)fig = sm.graphics.tsa.plot_acf(train, lags=10, ax=ax2)plt.show()  ###可视化定阶pmax = int(len(data) / 10)qmax = int(len(data) / 10)AIC = sm.tsa.arma_order_select_ic(train,max_ar=pmax,max_ma=qmax,ic='aic')['aic_min_order']BIC = sm.tsa.arma_order_select_ic(train,max_ar=pmax,max_ma=qmax,ic='bic')['bic_min_order']HQIC = sm.tsa.arma_order_select_ic(train,max_ar=pmax,max_ma=qmax,ic='hqic')['hqic_min_order']print('AIC：',AIC)print('BIC：',BIC)print('HQIC：',HQIC)return AIC
pq = confirm_p_q(yv_serie)##返回p,q值

图3

图4

由上面图4自相关函数图可知，定阶在 p,q=(1,1)p,q=(1,1)p,q=(1,1) 阶比较合理，再由相应的信息准则，我们最终定阶 p,q=(2,2)p,q=(2,2)p,q=(2,2) 也是合理的。

这里的定阶结果都是理论给的结果，实际中的定阶还是要根据模型表现不断调整，一般阶数越高越复杂，拟合效果越强，但过拟合概率也越高，所以要不断尝试不断调整。

接着我们正式开始预测

def prediction(data):tempmodel = ARMA(teststeady(data),pq).fit(disp=-1)print(tempmodel.summary())#num = 10#predictoutside1 = tempmodel.forecast(num)[0]#预测样本外的predictoutside2 = tempmodel.predict(len(tempmodel.predict()),len(tempmodel.predict()) + 9,dynamic=True)##也是样本外预测，预测结果一致predictinside = tempmodel.predict()##样本内预测init_value = yv[0]fig = plt.figure(figsize=(8, 6))predictinside = predictinside.cumsum()##差分还原pretrueinside = init_value + predictinsidestartprevalue = list(pretrueinside)[-1]predictoutside2 = predictoutside2.cumsum()##差分还原pretrueoutside = startprevalue + predictoutside2##作图plt.plot(yv,label='原始值')plt.plot([init_value] + list(pretrueinside),label='样本内预测值')X = [i for i in range(len(yv)-11,len(yv))]plt.plot(X,[startprevalue] + list(pretrueoutside), label='样本外预测值')allpredata = [init_value] + list(pretrueinside) + list(pretrueoutside)plt.legend()plt.show()return tempmodel,allpredata
preres = prediction(yv_serie)

最后我们对模型进行评价

def evaluate_model(model,apd):delta = model.fittedvalues - tsresscore = 1 - delta.var() / tsres.var()print('R^2：', score)allmse = mean_squared_error(apd,yv)##所有预测值跟所有原始值的MSEprint('ALLMSE:',allmse)###残差白噪声检验testwhitenoise(delta)
evaluate_model(preres[0],preres[1])

五：建模结果比较分析

当我们选择阶数 p,q=(1,1)p,q=(1,1)p,q=(1,1) 时看下建模效果：

图5：p,q=(1,1)

图6

注：这里涉及两个评价指标，一个是拟合优度 R2R^2R2 值，公式如下： R2=1−Var残差Var样本内xtR^2=1-\frac{Var_{残差}}{Var_{样本内x_{t}}}R2=1−Var样本内xtVar残差， VarVarVar 是方差意思， R2R^2R2 越接近1，说明拟合越好。另一个是均方误差，公式如下： MSE=1n∑i=1n(xi−xiˉ)2MSE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x_i})^2}MSE=n1∑i=1n(xi−xiˉ)2 ， xiˉ\bar{x_i}xiˉ 是样本估计量（预测值），此实验中，预测值指的是样本内预测值+样本外预测值，样本值是全体原数据值。

从残差检验是白噪声序列后，我们完整的建模算正式结束！

当我们选择阶数 p,q=(2,2)p,q=(2,2)p,q=(2,2) 时看下建模效果：

图7：p,q=(2,2)

图8

由图5和图6比较，直观上感觉图6总体拟合效果更好，再观察理论评价指标，也是 p,q=(2,2)p,q=(2,2)p,q=(2,2) 表现的更好，所以具体定阶时，我们不妨多个指标一起观察。

六：总结

此篇文章涉及的内容很多，有详细的理论推导解释AR§拖尾和MA(q)截尾的缘故，并最终一步一步建立ARMA模型来解决实际问题，
在上一篇文章我们也谈到ARMA对趋势性，周期性和季节性数据做短期预测是非常有效的，这篇文章主要是对趋势性数据做预测，周期性和季节性当然也是同理而得，
对于阶数 p,qp,qp,q 的取定，一直是个非常重要的步骤，所以在实际中，我们一定要结合实际结合多种方法综合定阶。