ARIMA模型的R实现

1.模型简介
ARIMA模型，全称差分自回归移动平均模型。可以看作是差分运算和ARMA模型的结合。主要是针对具有线性趋势的非平稳的时间序列，来进行建模预测。
ARIMA模型的形式如下：
Φ(B)∇??? = Θ(?)??
E(??) = 0,???(??) = ?? 2,?(????) = 0,? ≠ ?
E(????) = 0,∀? < ?
式中，Φ(B) = 1 − ?1? − ⋯− φ???，为平稳可逆 ARIMA 模型的自回归系数多项式；Θ(B) = 1 − ?1? − ⋯− ????，为平稳可逆 ARMA（p,q）模型的移动平滑系数多项式。
2.建模步骤
（1）画出时序图，自相关，偏自相关图，利用这些图形（或者利用单位根检验判别）判断序列的平稳性。
（2）将非平稳的时间序列进行差分运算，一般一个时间序列进行一到两次差分运算，就应该会平稳下来，否则，就可以认为该时间序列不适合用ARIMA模型来进行建模。
（3）对差分后的时间序列进行平稳性检验，以及白噪声序列，有时会出现差分后序列平稳下来，但是差分后的序列为白噪声，那么这时候该时间序列同样不适合ARIMA模型的建模处理。
（4）画出差分后时间序列的时序图，自相关，偏自相关图，来对该ARIMA模型进行定阶。（或者利用最小AIC准则来定阶也可以）
（5）求出模型的各项参数
（6）对模型的残差进行白噪声检验和参数进行显著性检验。
（7）利用模型进行预测。
3.建立模型
（1）画出时序图，进行单位根检验

library(tseries)
library(forecast)
library(zoo)
x=read.table("C:/Users/MrDavid/data_TS/A1.17.csv",sep=",",header=T)
x.fit=ts(x$index,start=1952)
plot(x.fit,col=4,pch=8,lwd=2,type="o")
adf.test(x.fit)

得到时序图：
单位根检验结果为：
发现P值远大于0.05，所以该序列为非平稳时间序列。
（2）进行差分运算，去除时间序列的趋势因素
进行一阶差分

x.dif1=diff(x.fit,difference=1)
plot(x.dif1,col=4,pch=8,lwd=2,type="o")
adf.test(x.dif1)

进行单位根检验：

adf.test(x.dif1)

检验结果显示，一阶差分平稳

对一阶差分后的平稳序列进行白噪声检验

for(i in 1:3) print(Box.test(x.dif1,type="Ljung-Box",lag=6*i))

结果显示，异界差分非白噪声序列
（3）画出自相关图，偏自相关图，然后对模型进行定阶：

acf(x.dif1,lwd=2,col=4)
pacf(x.dif1,lwd=2,col=4)

建立ARIMA（0，1，1）模型

x.fit2=arima(x.fit,order=c(0,1,1))
x.fit2

残差白噪声检验

for(i in 1:3) print(Box.test(x.fit2$residual,lag=6*i))

残差检验通过
对参数的显著性进行检验：

t1=0.7355/0.1545
pt(t1,df=36,lower.tail=F)

参数检验显著
该模型拟合成功

（4）对未来三期值进行预测

x.fore=forecast(x.fit2,h=3)
x.fore

画出预测图

L1=x.fore$fitted-1.96*sqrt(x.fit2$sigma2)
U1=x.fore$fitted+1.96*sqrt(x.fit2$sigma2)
L2=ts(x.fore$lower[,2],start=1952)
U2=ts(x.fore$upper[,2],start=1952)
c1=min(x.fit,L1,L2)
c2=max(x.fit,L2,U2)
plot(x.fit,type="p",pch=8,ylim=c(c1,c2))
lines(x.fore$fitted,col=2,lwd=2)
lines(x.fore$mean,col=2,lwd=2)
lines(L1,col=4,lty=2)
lines(U1,col=4,lty=2)
lines(L2,col=4,lty=2)
lines(U2,col=4,lty=2)

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