微表面模型GGX/Trowbridge-Reitz概率密度函数的推导

先说明一下，我们平常说的GGX的正确技术名称就是trowbridge-Reitz。

各向同性GGX

微表面的法线分布定义如下：

$\int _{\Omega }D(h)\cos\theta _hdh = 1$

其中D(h)是法线分布函数，cosθh是N dot h。

$p(h) = D(h) \cos \theta _h = \frac{\alpha ^2 \cos\theta _h}{\pi\left ( \left ( \cos\theta_h \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2}$

根据概率密度函数的转换：p(θ, φ) = sinθp(ω)

$p(\theta, \phi) = \frac{\alpha ^2 \cos\theta \sin\theta}{\pi\left ( \left ( \cos\theta \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2}$

根据边际概率密度：

$p(\theta) = \int _{0}^{2\pi} p(\theta, \phi)d\phi = \int _{0}^{2\pi}\frac{\alpha ^2 \cos\theta \sin\theta}{\pi\left ( \left ( \cos\theta \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2} d\phi = \frac{2\alpha ^2 \cos\theta \sin\theta}{\left ( \left ( \cos\theta \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2}$

求条件概率：

$p(\phi |\theta) = \frac{p(\phi, \theta)}{p(\theta)} = \frac{1}{2\pi}$

分别求θ和φ的概率累积函数：

$\int _{0}^{\theta}p(\theta)d\theta =\int _{0}^{\theta}\frac{2\alpha ^2 \cos\theta \sin\theta}{\left ( \left ( \cos\theta \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2}d\theta \\= \frac{\alpha ^2}{(\alpha ^2-1)(1 + \cos^2\theta(\alpha ^2-1))} - \frac{1}{\alpha ^2 -1} = \xi _0$

上面的积分非常难求，我在Symbolab 数学求解器 - 分步计算器上解出来。

通过代数求得：

$\cos^2\theta = \frac{1 - \xi _0}{1 + (\alpha ^2 -1)\xi _0}$

$\theta = \cos^{-1}\sqrt{\frac{1 - \xi _0}{1 + (\alpha ^2 -1)\xi _0}}$

φ的概率累积函数：

$\int _{0}^{\phi}p(\phi |\theta)d\phi = \frac{\phi}{2\pi} = \xi _1$

$\phi= 2\pi \xi_1$

各向异性GGX

继续按p(θ, φ) = sinθp(ω)得到：

由于上面的积分特别难解，我们的目的是去求φ和θ，根据概率累积函数的定义，可以分别直接求θ和φ。

我们定义θ的CDF是

由于上面式子中的φ和α都能做为常数，我们定义一个辅助常量A(φ)

最后上面的求出来是：

这个时候我们只需要求得φ就能求出θ了。

再返回来求边际概率密度函数p(φ)，p(φ)就是p(θ)在他定义域里的CDF，所以有：

以上可以求出要采样的微表面法线h，但蒙特卡洛方法是对入射光的采样，因此我们必须要求出p(ωi)。

下面我们来看立体角dωi和dωh的关系：

如上图所示，我把dωr看成是dωi，dω'看成是dωh。

由于IR = 2IP，那么

dA''' = dAr/4；

再看dA''和dA'''的关系：

OP = cosθi'，OQ = 1；

那么dA''和dA'''关系是：dA''' = cosθi'²dA''。

$dA^{'} = dA^{''}\cos\theta _i ^{'} = \frac{dA^{'''}\cos\theta _i ^{'}}{(\cos\theta _i ^{'} )^{2}} = \frac{dA^{'''}}{\cos\theta _i ^{'}} = \frac{dA_r}{4\cos\theta _i ^{'}}$

换回ωh和ωi就是：

$d\omega _h = \frac{d\omega _i}{4(\omega _i \cdot \omega _h)} = \frac{d\omega _i}{4(v \cdot \omega _h)} \quad (v + \omega _i = \omega _h)$

$\int _{\Omega }pdf(\omega _h) d\omega _h = \int _{\Omega } \frac{pdf(\omega _h)}{4(v\cdot \omega _h)}d\omega _i = 1$

所以有：

$pdf(\omega _i) = \frac{pdf(\omega _h)}{4(v\cdot \omega _h)}$

到这里推导才完毕。

=======也可以用pbrbook的来推导======

和几个朋友讨论，最后一位QQ名叫壳的解答了我一直不太懂的地方。

这里重新定义θh和θi，使得2θh = θi，并且满足：ωh = ωo + ωi。

但在其他地方，θh是h和N的夹角，这里会让人非常迷惑为何会成立。

由于φi = φh，

所以这里得出了dωh和dωi的关系，然后把这个坐标系转回以宏观法线N为z轴向上的坐标系下，关系依然成立！

参考：

pbr-book

Sampling Anisotropic Microfacet BRDF – A Graphics guy's notePLEASE BE NOTED, this blog has be relocated to a new address, I’ll not spend time maintaining my blog at wordpress anymore. https://agraphicsguynotes.com/posts/sample_anisotropic_microfacet_brdf/ I am working on material system in my renderer recently. My old implementation of microfacet models is all isotropic BRDF, as a result of which, I can't render something like brushed metals…https://agraphicsguy.wordpress.com/2018/07/18/sampling-anisotropic-microfacet-brdf/