微表面模型Beckmann–Spizzichino distribution的概率密度函数推导

微表面的法线分布定义如下：

$\int_{H^2(n)}D(\omega_h )\cos\theta _hd\omega_h = 1$

得到：

$p(\omega _h) = D(\omega _h)\cos\theta_h$ (1)式

看Beckmann–Spizzichino中，各向同性的分布定义：

根据(1)式，p(θ, φ) = sinθp(ω) = sinθcosθD(ω)（见：pbrbook 13.5.3 Spherical Coordinates）

用边际概率密度推导：

$\\ p(\theta _h) = \int _{0}^{2\pi} p(\theta , \phi)d\phi \\=\int _{0}^{2\pi}\sin\theta_hp(\omega _h)d\phi \\= \int _{0}^{2\pi}\sin\theta_h\cos\theta_hD(\omega _h)d\phi \\ =2\pi \sin\theta_h\cos\theta_h\frac{e^{-\tan^{2}\theta_h/\alpha ^2}}{\pi \alpha ^2\cos^4\theta_h} \\ =\frac{2e^{-\tan^{2}\theta_h/\alpha ^2}}{\alpha ^2\cos^3\theta_h}$

$p(\phi |\theta) = \frac{p(\theta, \phi)}{p(\theta)} = \frac{1}{2\pi}$

推导完毕。

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