1. 什么是频响分析
2. 机械阻抗和导纳的概念
3. 集中参数元件的阻抗和导纳
- 3.1 阻尼元件的阻抗和导纳
- 3.2 机械阻抗网络图的建立
- 3.3 机械阻抗的串并联计算
4. 单自由度紫铜的频响特性和导纳曲线
- 4.1 无阻尼系统
- - 4.1.1 自由系统
  - 4.2 约束系统
- 4.2 有阻尼系统
- 4.2.1 自由系统
- 4.2.2 约束系统
5.结构阻尼

1. 什么是频响分析

用一特定已知的激励力，以可控的方式来激励结构，同时测量输入和输出信号，据此分析并找出结构的动态参数，以评价其动态特性或建立数学模型，这就是频响分析。
频响分析的结果一般表示为频率——响应曲线：包括幅频曲线，相频曲线，实频曲线，虚频曲线，或是响应向量的矢端轨迹图。
对于单自由度系统，频响分析的一般步骤是：固有频率→阻尼→刚度→质量。

2. 机械阻抗和导纳的概念

位移阻抗，速度阻抗和加速度阻抗的计算公式
Z D = F X = k − ω 2 m + j ω c Z V = F V = c + j ω m + k j ω Z A = F A = m − k ω 2 + c j ω \begin{aligned} Z_{D} & =\frac{F}{X}=k-\omega^{2} m+\mathrm{j} \omega c \\ Z_{V} & =\frac{F}{V}=c+\mathrm{j} \omega m+\frac{k}{\mathrm{j} \omega} \\ Z_{A} & =\frac{F}{A}=m-\frac{k}{\omega^{2}}+\frac{c}{\mathrm{j} \omega} \end{aligned} ZDZVZA=XF=k−ω2m+jωc=VF=c+jωm+jωk=AF=m−ω2k+jωc
位移导纳，速度导纳和加速度导纳的计算公式
Y D = 1 / Z D = X / F Y V = 1 / Z V = V / F Y A = 1 / Z A = A / F \begin{array}{l} Y_{D}=1 / Z_{D}=X / F \\ Y_{V}=1 / Z_{V}=V / F \\ Y_{A}=1 / Z_{A}=A / F \end{array} YD=1/ZD=X/FYV=1/ZV=V/FYA=1/ZA=A/F
从阻抗以及导纳的表达式来看，阻抗的物理意义是产生单位响应需要施加的力，导纳的物理意义是单位力能够产生的响应。

3. 集中参数元件的阻抗和导纳

3.1 阻尼元件的阻抗和导纳

3.2 机械阻抗网络图的建立

根据节点法，确定各元件的连接点与串并联关系。之后把力施加到节点上。另外需要注意的是，代表实际质量的元件总有一个接地端。

3.3 机械阻抗的串并联计算

机械阻抗的并联计算
若有n个阻抗并联，则其等效阻抗 Z p Z_p Zp为
Z p = ∑ i = 1 n Z i Z_{\mathrm{p}}=\sum_{i=1}^{n} Z_{i} Zp=i=1∑nZi
机械阻抗的串联情况
串联系统的阻抗的倒数是参与串联的各阻抗倒数之和
1 Z s = ∑ i = 1 n 1 Z i \frac{1}{Z_{\mathrm{s}}}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{Z_{i}} Zs1=i=1∑nZi1

4. 单自由度紫铜的频响特性和导纳曲线

4.1 无阻尼系统

4.1.1 自由系统

单自由度系统的力学模型与机械阻抗网络为：

系统的导纳为：
Y = − 1 ω 2 m + 1 k = ω 2 m − k ω 2 m k = − 1 ω 2 m ( 1 − ω 2 ω A 2 ) = 1 k ( 1 − ω A 2 ω 2 ) Y=-\frac{1}{\omega^{2} m}+\frac{1}{k}=\frac{\omega^{2} m-k}{\omega^{2} m k}=\frac{-1}{\omega^{2} m}\left(1-\frac{\omega^{2}}{\omega_{A}^{2}}\right)=\frac{1}{k}\left(1-\frac{\omega_{A}^{2}}{\omega^{2}}\right) Y=−ω2m1+k1=ω2mkω2m−k=ω2m−1(1−ωA2ω2)=k1(1−ω2ωA2)
其中， ω A = k m \omega_A=\sqrt{\frac{k}{m}} ωA=mk 。
可知，系统的导纳幅频特性曲线为：

4.2 约束系统

带约束单自由系统的力学模型与机械阻抗网络为：

该系统的位移阻抗为：
Z = − ω 2 m + k = m ( k m − ω 2 ) = m ( Ω n 2 − ω 2 ) = k ( 1 − ω 2 Ω n 2 ) Z=-\omega^{2} m+k=m\left(\frac{k}{m}-\omega^{2}\right)=m\left(\Omega_{n}^{2}-\omega^{2}\right)=k\left(1-\frac{\omega^{2}}{\Omega_{n}^{2}}\right) Z=−ω2m+k=m(mk−ω2)=m(Ωn2−ω2)=k(1−Ωn2ω2)
其中， Ω n 2 = k m \Omega_{n}^{2}=\frac{k}{m} Ωn2=mk，该系统阻抗的幅频特性曲线与导纳的幅频特性曲线分别为：

4.2 有阻尼系统

4.2.1 自由系统

单自由度黏性自由系统的力学模型与机械阻抗示意图为：

该系统的总导纳为：
Y p − G = 1 Z p − G = 1 Z p − a + 1 Z m = 1 k + j ω c + 1 − ω 2 m \begin{aligned} Y_{p-G} & =\frac{1}{Z_{p-G}}=\frac{1}{Z_{p-a}}+\frac{1}{Z_{m}} \\ & =\frac{1}{k+\mathrm{j} \omega c}+\frac{1}{-\omega^{2} m} \end{aligned} Yp−G=Zp−G1=Zp−a1+Zm1=k+jωc1+−ω2m1
利用导纳函数计算出 p p p点和 a a a点的位移，定义位移之比为振动传递系数
∣ T ∣ = 1 + 4 ζ 2 ( ω ω A ) 2 [ 1 − ( ω ω A ) 2 ] 2 + 4 ζ 2 ( ω ω A ) 2 |T|=\sqrt{\frac{1+4 \zeta^{2}\left(\frac{\omega}{\omega_{A}}\right)^{2}}{\left[1-\left(\frac{\omega}{\omega_{A}}\right)^{2}\right]^{2}+4 \zeta^{2}\left(\frac{\omega}{\omega_{A}}\right)^{2}}} ∣T∣=[1−(ωAω)2]2+4ζ2(ωAω)21+4ζ2(ωAω)2

利用该函数便可以对系统进行隔振设计。从传递函数图像可以看出，只有当 ω / ω A > 2 时 \omega/\omega_A>\sqrt{2}时 ω/ωA>2 时，才能起到隔振的目的，所以隔振弹簧的刚度小些比较好。另外，大的阻尼对隔振对起到不好的效果，但是实际上还是要有一点阻尼的，可以让振动快速衰减下来。
在进行上述形式的隔振设计时，通常的步骤为：

step1：选定 ∣ T ∣ |T| ∣T∣
step2：根据 ∣ T ∣ |T| ∣T∣值确定 ω / ω A \omega/\omega_A ω/ωA，这一步可通过查图确定
step3：根据外界振动频率 ω \omega ω确定 ω A \omega_A ωA；
step4：根据设备质量 m m m定 k k k
step5：校核 k k k元件的刚度

4.2.2 约束系统

对于一单自由度黏性约束系统，其物理模型及机械阻抗网络图为：

该系统的总阻抗为：
Z = Z m + Z k + Z c = − m ω 2 + k + j ω c = ( k − m ω 2 ) 2 + ( c ω ) 2 e j Φ ′ = k [ 1 − ( ω Ω n ) 2 ] 2 + ( 2 ζ ω Ω n ) 2 e j Φ ′ Φ ′ = arctan ⁡ c ω k − m ω 2 = arctan ⁡ 2 ζ ω Ω n 1 − ( ω Ω n ) 2 \begin{aligned} Z & =Z_{m}+Z_{k}+Z_{c}=-m \omega^{2}+k+\mathrm{j} \omega c \\ & =\sqrt{\left(k-m \omega^{2}\right)^{2}+(c \omega)^{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \Phi^{\prime}}=k \sqrt{\left[1-\left(\frac{\omega}{\Omega_{n}}\right)^{2}\right]^{2}+\left(2 \zeta \frac{\omega}{\Omega_{n}}\right)^{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \Phi^{\prime}} \\ \Phi^{\prime} & =\arctan \frac{c \omega}{k-m \omega^{2}}=\arctan \frac{2 \zeta \frac{\omega}{\Omega_{n}}}{1-\left(\frac{\omega}{\Omega_{n}}\right)^{2}} \end{aligned} ZΦ′=Zm+Zk+Zc=−mω2+k+jωc=(k−mω2)2+(cω)2 ejΦ′=k[1−(Ωnω)2]2+(2ζΩnω)2 ejΦ′=arctank−mω2cω=arctan1−(Ωnω)22ζΩnω
换成导纳表达式，为：
Y = 1 / k [ 1 − ( ω Ω n ) 2 ] 2 + ( 2 ζ ω Ω n ) 2 e j Φ = ∣ Y ∣ e j Φ Y=\frac{1 / k}{\sqrt{\left[1-\left(\frac{\omega}{\Omega_{n}}\right)^{2}\right]^{2}+\left(2 \zeta \frac{\omega}{\Omega_{n}}\right)^{2}}} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \Phi}=|Y| \mathrm{e}^{\mathrm{j} \Phi} Y=[1−(Ωnω)2]2+(2ζΩnω)2 1/kejΦ=∣Y∣ejΦ
其中：
∣ Y ∣ = 1 / k [ 1 − ( ω Ω n ) 2 ] 2 + ( 2 ζ ω Ω n ) 2 |Y|=\frac{1 / k}{\sqrt{\left[1-\left(\frac{\omega}{\Omega_{n}}\right)^{2}\right]^{2}+\left(2 \zeta \frac{\omega}{\Omega_{n}}\right)^{2}}} ∣Y∣=[1−(Ωnω)2]2+(2ζΩnω)2 1/k
Φ = − Φ ′ = arctan ⁡ − 2 ζ ω Ω n 1 − ( ω Ω n ) 2 \Phi=-\Phi^{\prime}=\arctan \frac{-2 \zeta \frac{\omega}{\Omega_{n}}}{1-\left(\frac{\omega}{\Omega_{n}}\right)^{2}} Φ=−Φ′=arctan1−(Ωnω)2−2ζΩnω
其阻抗和导纳的幅频与相频曲线分别为：

5.结构阻尼

在之前的推导中，我们一直假定系统的阻尼力为 F D = c x ˙ F_{D}=c \dot{x} FD=cx˙，但是在实际情况下，阻尼力和试验频率几何是无关的。结构阻尼的假定提供了一种与频率无关的数学模型，它假定阻尼力的大小与位移大小成正比，但是与速度同相。
F D = h ∣ x ∣ x ˙ ∣ x ˙ ∣ F_{D}=h|x| \frac{\dot{x}}{|\dot{x}|} FD=h∣x∣∣x˙∣x˙
新的阻尼模型下，系统的动力学方程为：
[ − ω 2 m + k ( 1 + j h k ) ] X = F \left[-\omega^{2} m+k\left(1+\mathrm{j} \frac{h}{k}\right)\right] X=F [−ω2m+k(1+jkh)]X=F
令 h = g k h=gk h=gk， g g g称为结构阻尼因子，并令 k ∗ = k ( 1 + j g ) k^{*}=k(1+\mathrm{j} g) k∗=k(1+jg)，称 k ∗ k^{*} k∗为复刚度。但在实际操作中，我们通常将阻尼修正为与结构阻尼等效的数值，等效的方法是基于能量消耗相等的原则。修正后的阻尼为：
C e = k g ω C_{\mathrm{e}}=\frac{k g}{\omega} Ce=ωkg
此时，系统的动力学方程修正为：
m x ¨ + C e x ˙ + k x = f ( t ) m \ddot{x}+C_{\mathrm{e}} \dot{x}+k x=f(t) mx¨+Cex˙+kx=f(t)

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