线性方程组解个数的判定和求解

2024-05-10 11:42:48

线性方程组解个数的判定和求解

线性方程组解的判定

含有 mmm 个方程， nnn 个未知数(unknowns)的线性方程组的一般形式如下：
{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn\left\{ \begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\ \cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn
即
Ax=b\bold{Ax = b} Ax=b
文中出现的矩阵 A\bold AA 都是 m×nm\times nm×n 的矩阵。

齐次线性方程组

当一般线性方程组所有方程等号右边的常量都取 000 时，它就是所谓的齐次线性方程组，即
Ax=0\bold{Ax = 0} Ax=0
由于齐次线性方程组一定有平凡解 x=0\bold{x=0}x=0 ，所以没有解不存在的情况。

判定定理1：齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是 r(A)=nr(\bold A) = nr(A)=n ，即系数矩阵列满秩

判定定理2：齐次线性方程组有基础解系（无穷解）的充分必要条件是 r(A)<nr(\bold A)<nr(A)<n

定理1，可以由 Rank-Nullity Theorem 直接推出。当系数矩阵是方阵，可以由克拉默法则推出。

定理2其实是定理1的言下之意，因为矩阵的值小于等于min{m,n}min\{m,n\}min{m,n} ，必定小于等于 nnn，不是等于，那必然是小于。

非齐次线性方程组

记矩阵 BBB 为
[Ab]\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} \bold A \end{matrix}& \begin{matrix} \bold b \end{matrix} \end{array} \right ] [Ab]

则有如下定理：

判定定理3：非齐次线性方程组无解的充分必要条件是 r(A)<r(B)r(A)<r(B)r(A)<r(B)，即系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩。

判定定理4：非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是 r(A)=r(B)=nr(A)=r(B)=nr(A)=r(B)=n

判定定理5：非齐次线性方程组有无穷解的充分必要条件是 r(A)=r(B)<nr(A)=r(B)<nr(A)=r(B)<n

注：.对增广矩阵作初等行变换，得到行阶梯型，进而得到行最简型。取 r=r(A)r = r(A)r=r(A)个主元素为非自由自变量，剩余 n−rn-rn−r 个变量为自由自变量。如果 r=nr=nr=n，这意味着没有自由自变量，故有唯一解。

线性方程组求解

齐次线性方程组

非齐次线性方程组

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