线性方程组的解个数与秩的关系

对线性方程组 A x = b \mathbf{Ax}=\mathbf{b} Ax=b，其解的数量可以根据 A \mathbf{A} A的秩来讨论。 A ∈ R m × n \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n} A∈Rm×n。

r = m < n r=m<n r=m<n，即矩阵 A \mathbf{A} A行满秩，此时 A \mathbf{A} A有 m m m个线性无关的列，也就是说其列空间为 R m \mathbb{R}^m Rm，此时对任意 b \mathbf{b} b方程组均有解，同时 A x = 0 \mathbf{Ax}=\mathbf{0} Ax=0一定有非零解，方程组有无穷多解。
r = n < m r=n<m r=n<m，即矩阵 A \mathbf{A} A列满秩，此时 A \mathbf{A} A有 n n n个线性无关的列，方程组 A x = 0 \mathbf{Ax}=\mathbf{0} Ax=0只有零解，方程组有 0 0 0或 1 1 1个解（取决于 b \mathbf{b} b）。
r < m , n r<m,n r<m,n，即矩阵 A \mathbf{A} A行列均不满秩， A x = 0 \mathbf{Ax}=\mathbf{0} Ax=0一定有非零解，则 A x = b \mathbf{Ax}=\mathbf{b} Ax=b有 0 0 0或无穷多个解。
r = m = n r=m=n r=m=n，矩阵 A \mathbf{A} A是可逆方阵，此时 A x = 0 \mathbf{Ax}=\mathbf{0} Ax=0只有零解，并且 A \mathbf{A} A的列空间为 R m \mathbb{R}^m Rm，方程组有一个解。

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