通过python理解相速度和群速度

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波动模型
相速度
群速度

从物理学的机制出发，波动模型相对于光线模型，显然更加接近光的本质；但是从物理学的发展来说，波动光学旨在解决几何光学无法解决的问题，可谓光线模型的一种升级。从编程的角度来说，波动光学在某些情况下可以简单地理解为在光线模型的基础上，引入一个相位项。

波动模型

一般来说，三个特征可以确定空间中的波场：频率、振幅和相位，故光波场可表示为：

E=Acos(ωt−kr)E = Acos(\omega t-kr) E=Acos(ωt−kr)

其中，AAA为振幅，ω=2πf=2πT\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}ω=2πf=T2π为角频率，k=2πλk=\frac{2\pi}{\lambda}k=λ2π，为波数。由上式可知，当时间固定时，光在传播方向上有一个正弦波的外形；而对于空间中任意一点，沿着振幅方向则进行简谐运动。

其中，振幅、波数以及空间位置均为矢量，当坐标比较混乱的时候，也可以写成E⃗=A⃗cos(ωt−k⃗r⃗)\vec E = \vec{A}cos(\omega t-\vec k\vec r)E=Acos(ωt−kr)；有时为了计算方便，也可以写成指数形式

E=Ae−i(ωt−kr)E = Ae^{-i(\omega t-kr)} E=Ae−i(ωt−kr)

对于平面波来说，其发散角为0，即光场中的所有点，都具有统一的传播方向，且振幅相等。设其传播方向为zzz，则可写为

E=Acos(ωt−kz)E = Acos(\omega t-kz) E=Acos(ωt−kz)

球面波则相对复杂，令rrr为空间中任意一点到点光源的距离，则对于a、ba、ba、b两点来说，其单位面积的光通量之比为IaIb=rb2ra2\frac{I_a}{I_b}=\frac{r^2_b}{r^2_a}IbIa=ra2rb2，则振幅之比为EbEa=rarb\frac{E_b}{E_a}=\frac{r_a}{r_b}EaEb=rbra。这说明球面波振幅反比于波阵面到光源距离，即

E=A⃗re−i(ωt−k⃗r⃗)E = \frac{\vec A}{r}e^{-i(\omega t-\vec k\vec r)} E=rAe−i(ωt−kr)

通过截取xOzxOzxOz平面，假设光波长为532nm,则可以画出这一截面处的光波振幅图。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
z = np.arange(15,200)*10    #单位为nm
x = np.arange(15,200)*10
x,z = np.meshgrid(x,z)      #创建坐标系
E = 1/np.sqrt(x**2+z**2)*np.cos(2*np.pi*np.sqrt(x**2+z**2)/(532*1e-9))
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.plot_surface(x,z,E)
plt.show()

其结果如图所示

相速度

经典的光波公式E=Acos(ωt−kr)E = Acos(\omega t-kr)E=Acos(ωt−kr)表示一个在空间中沿着一个方向传播的简谐波。如果现有多个频率相同的光波共同传播，那么由于不同光波之间可能存在相位差，虽然在任意一点上仍旧有着简谐运动的形式，但在任意时刻，其波峰波谷的位置显然不同。故可以写为

E=A(r)cos⁡(ωt−g(r))E=A(\bf{r})\cos(\omega t-g(\bf{r})) E=A(r)cos(ωt−g(r))

指数形式为

E=A(r)eig(r)e−iωtE=A(\bf{r})e^{ig(\bf{r})}e^{-i\omega t}E=A(r)eig(r)e−iωt

其中，g(r)g(r)g(r)为常数，被称为等相位面，等相面并不重合的光波叫做非均匀波，即非均匀波可能在空间上不具备可计算的周期性。除非ωt−g(r)\omega t-g(\bf{r})ωt−g(r)的全微分为0，即ωdt−gradgdr=0\omega dt-\text{grad}g\text{d}\bf{r}=0ωdt−gradgdr=0。

→drdt=ωgradg\to \frac{\text{d}\bf{r}}{\text{d}t}=\frac{\omega}{\text{grad}g} →dtdr=gradgω

当r\bf{r}r的方向垂直于等相面时，上式数值最小，为

vp(r)=ω∣gradg∣v_p(\bf{r})=\frac{\omega}{|\text{grad}g|}vp(r)=∣gradg∣ω

该式表示各等相位面前进的速度，为相速度\textbf{相速度}相速度。

群速度

对于平面波来说，g(r)=k⋅r−δg(\bf r)=k \cdot r-\deltag(r)=k⋅r−δ，则

vp=ωk=cεμv_p=\frac{\omega}{k}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}vp=kω=εμc

当光波是由一群频率不同的光的叠加时，相速度便难以衡量光束的传播特性，也几乎是不可测的。而真实的光波往往是不同频率单色波的叠加

E(r,t)=∫0∞Aω(r)[ωt−gω(r)]E(\mathbf{r},t)=\int_0^\infty A_\omega(\mathbf{r})[\omega t-g_\omega(\mathbf{r})]E(r,t)=∫0∞Aω(r)[ωt−gω(r)]

对于两个平面单色波来说，如果二者频率和相位都比较相近，振幅相同，且都沿着zzz轴传播，则对振幅进行归一化，上式可以简化为

E(z,t)a=cos⁡(ωt−kz)+cos⁡[(ω+δω)t−(k+δk)z]→e−i(ωt−kz)+e−i[(ω+δω)t−(k+δk)z]=2cos⁡[12(tδω−zδk)]e−i(ωˉt−kˉz)→2cos⁡[12(tδω−zδk)]cos⁡(ωˉt−kˉz)其中ωˉ=ω+12δω,kˉ=k+12δk\begin{aligned} \frac{E(z,t)}{a}=&\cos{(\omega t-kz)}+\cos{[(\omega+\delta\omega)t-(k+\delta k)z]}\\ \to&e^{-i(\omega t-kz)}+e^{-i[(\omega+\delta\omega)t-(k+\delta k)z]}\\ =&2\cos[\frac{1}{2}(t\delta\omega-z\delta k)]e^{-i(\bar\omega t-\bar kz)}\\ \to&2\cos[\frac{1}{2}(t\delta\omega-z\delta k)]\cos{(\bar\omega t-\bar kz)}\\ \text{其中}&\quad\bar\omega=\omega+\frac{1}{2}\delta\omega,\quad \bar k=k+\frac{1}{2}\delta k \end{aligned} aE(z,t)=→=→其中cos(ωt−kz)+cos[(ω+δω)t−(k+δk)z]e−i(ωt−kz)+e−i[(ω+δω)t−(k+δk)z]2cos[21(tδω−zδk)]e−i(ωˉt−kˉz)2cos[21(tδω−zδk)]cos(ωˉt−kˉz)ωˉ=ω+21δω,kˉ=k+21δk

假设两列波的波长分别为532nm和600nm，则在同一时刻，不同位置处的光波振幅可通过python画出

def wavePacket(d = [532e-9,600e-9]):d = np.array(d)k = 2*np.pi/d           #波数dk = k[0]-k[1]          #波数差bk = k[1]+dk/2          #平均波数z = np.arange(10000)/1e9  #位置为0到10umE0 = np.cos(-k[0]*z)E1 = np.cos(-k[1]*z)E = E0+E1#E = 2*np.cos(-dk/2*z)*np.cos(-bk*z)fig = plt.figure()plt.plot(z,E0,'--',color='red',label='E0')plt.plot(z,E1,'--',color='blue',label='E1')plt.plot(z,E,'-',color='green',label='E')plt.legend()plt.show()

可见每间隔一段距离或者时间就会出现一个比较大的振幅，其极大间隔可以通过表达式求出

δt=2πωˉδz=2πkˉ\delta t = \frac{2\pi}{\bar\omega}\quad\delta z=\frac{2\pi}{\bar k} δt=ωˉ2πδz=kˉ2π

则定义

vg=δzδt=ωˉkˉv_g=\frac{\delta z}{\delta t}=\frac{\bar\omega}{\bar k} vg=δtδz=kˉωˉ

为群速度，表示波包的传播速度。