感觉跟专栏主题不是很搭... 不过这是这学期计算物理的作业，还是放上来吧，也算勉强沾边了吧。

用一个浮点数相加的例子来演示计算机在计算时所产生的误差。

在Python中，用0.2+0.4 会得到0.6000000000000001。

浮点数简介

浮点数的表示方法：目前流行的浮点数标准是IEEE754。用64个bit来表示双精度。

首位为符号位s，0代表正，1代表负。

接下来的11位代表指数，将其理解为一个无符号的数字e，例如，00000000011就代表3。定义指数(阶码)M和偏置Bias，其中偏置，定义，容易看出E的范围为-1022到+1023。对于单精度，。

最后的52位是编码尾数M，第一位的权重是1/2，第二位的权重是1/4… 第52位的权重是。这里有一个隐藏位，在首位之前，代表1.因此M的范围实际上是. 当52位全为0时，M为1 当全为1时，M非常接近2，但还差了一个

浮点数. M在1到2之间，E在到，这两者配合无论是精度还是范围都足够大了。

浮点数加法(以0.2+0.4为例)

浮点数加法的计算步骤：浮点数有自己的一套计算方法，以下借助例子详细阐述，总之核心思想就是保持阶码一致，当需要移位的时候，就抛弃掉尾数的最后一位，因为这一位的权重最小，但就是抛弃尾数的最后几位导致了误差。

对阶&移位-->有效数求和-->规格化-->舍入处理-->溢出判断.

以0.2+0.4为例逐步分析。

首先，利用http://www.binaryconvert.com 将0.2和0.4转换为二进制表示，之后从二进制到十进制的逆转换同样是由这个网站完成的。

0.2：0 01111111100 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

0.4：0 01111111101 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

为了下面阐述方便，直接将隐藏位也一起写出来。

0.2：0 01111111100 11001100110011001100110011001100110011001100110011010

0.4：0 01111111101 11001100110011001100110011001100110011001100110011010

简单check一下，可以看出0.2的阶码E=-3，也就是1/8，乘上M后可以得到0.2；同理0.4的阶码E=-2.

1. 对阶&移位

对阶：先求阶差，明显0.2的阶码比0.4的阶码小1.

移位：小码向大码看齐，即将0.2的阶码变成-2，同时将尾数右移一位。这个操作其实就是让阶码+1，导致原数V扩大两倍，同时尾数右移一位，导致原数V缩小两倍。二者相互抵消。要注意在移动尾数时要连隐藏位一起移动，同时抛弃末位。这样一来0.2变为：

0.2：0 01111111101 01100110011001100110011001100110011001100110011001101

2. 有效数求和

将0.2和0.4的尾数求和，包含隐藏位

0.2：01100110011001100110011001100110011001100110011001101

0.4：11001100110011001100110011001100110011001100110011010

同样利用一个小网站http://www.99cankao.com 来实现这一计算，计算结果已经过手动check，为：

100110011001100110011001100110011001100110011001100111

有5位。

3. 规格化

双精度数字只允许尾数为52位，所以上述求和的数字要进行规格化，即将原来的大阶码(-2)加一，变成-1，即01111111110

同时将尾数和右移，与前面移位中类似，阶码+1让V乘以2，尾数右移让V除以2。但要注意此时右移是不包括隐藏位的，简单分析一下原因：

如果不进行规格化，相当于：

100110011001100110011001100110011001100110011001100111

中，10的权重为1，也即换位十进制为1*2+0+1=2，再加上后面的小数，我们这里假设为0.4(数字随便取的，只为了说明方便)。那么此时尾数M=2.4. 为了使其回到原本的浮点数表示，我们将阶码加一，那么相应的尾数就要除以2，变成1.2。在浮点数表示中，隐藏位始中给出一个1，就需要尾数给出0.2，这样才能得到1.2。那么自然地，100110011001100110011001100110011001100110011001100111中，黑色部分给出0.4，将其右移一位，抛弃末位，就可以得到0.2。

综上所述，规格化时尾数的移位不包括隐藏位，但是第一步移位的时候要带上隐藏位，原因是相似的，这里就不展开了。

4. 舍入处理

在对0.2规格化时，100110011001100110011001100110011001100110011001100111，末位是1，IEEE754的策略是0舍1入，因此去掉隐藏位，初位前加0，抛弃末位，并加一后变为：

0011001100110011001100110011001100110011001100110100

5. 溢出处理

整合得到最后的结果为

0 01111111110 0011001100110011001100110011001100110011001100110100

这就是我们最后得到的0.2+0.4得二进制表示，将其转换为十进制看一下结果：

0011111111100011001100110011001100110011001100110011001100110100

可以看出最后的结果6.00000000000000088817841970013E-1，略大于0.6，在Python中将其处理为0.6000000000000001也就很自然了。

总结

通过这个例子我们可以看出，计算机表示数字具有天然的误差，不管你采用多高的精度，多少个bit，最后至少都会产生一个的误差。