矩阵的逆及求逆矩阵的方法，可逆矩阵定理与判定方法，（非）奇异矩阵，方程Ax=b解法，Hilbert矩阵及其逆的求法，条件数（Condition Number）及其计算方法
矩阵的逆的定义：一个n×nn\times nn×n的矩阵AAA是可逆的，如果存在一个n×nn\times nn×n的矩阵CCC使得：
CA=I,且AC=ICA=I, 且 AC=ICA=I,且AC=I
其中I=InI=I_nI=In为n×nn\times nn×n的单位矩阵，此时矩阵CCC就是矩阵AAA的逆，矩阵AAA的逆记为矩阵A−1A^{-1}A−1。若矩阵AAA可逆，那么它的逆是唯一的。
奇异矩阵与非奇异矩阵：
不可逆矩阵有时也叫奇异矩阵，可逆矩阵有时也成为非奇异矩阵。
求矩阵逆的方法：
把n×nn\times nn×n的方阵AAA与同样是n×nn\times nn×n的单位矩阵III排在一起，构成增广矩阵[AI][A \qquad I][AI]，对此增广矩阵进行初等行变换，直到化简为[IA−1][I \qquad A^{-1}][IA−1]，这样矩阵AAA的逆A−1A^{-1}A−1就出现在增广矩阵右边。如果不能做如上化简，则表明矩阵AAA没有逆。
可逆矩阵定理
假设矩阵AAA为n×nn\times nn×n的方阵，以下命题是等价的，即它们同时为真或同时为假：
- AAA是可逆矩阵；
- AAA行等价于nnn阶单位阵（即AAA经过若干次初等行变换可以变成nnn阶的III）；
- A有nnn个主元位置；
- 方程Ax=0Ax=0Ax=0仅有平凡解；
- AAA的各列线性无关；
- 线性变换x∣→Axx|\rightarrow Axx∣→Ax是一对一的；
- 对RnR^nRn中任意bbb，方程Ax=bAx=bAx=b至少有一个解；
- AAA的各列生成RnR^nRn；
- 线性变换x∣→Axx|\rightarrow Axx∣→Ax把RnR^nRn映射到RnR^nRn；
- 存在n×nn\times nn×n矩阵CCC使得CA=ICA=ICA=I ；
- 存在n×nn\times nn×n矩阵DDD使得AD=IAD=IAD=I；
- ATA^TAT是可逆矩阵；
- AAA的列向量构成RnR^nRn的一个基；
- ColA=RnCol\space A=R^nCol A=Rn；
- dimColA=ndimCol\space A=ndimCol A=n；
- rankA=nrankA=nrankA=n；
- NulA={0}NulA=\{0\}NulA={0}；
- dimNulA=0dimNul\space A=0dimNul A=0；
判断矩阵可逆的方法：
判断矩阵可逆的方法有很多，例如：
- 行列式判别法：若一个矩阵行列式不为零，则可逆；若行列式等于零，则不可逆。
- 若n×nn\times nn×n的矩阵AAA是可逆的，则对每一RnR^nRn中的bbb，方程Ax=bAx=bAx=b有唯一解x=A−1bx=A^{-1}bx=A−1b。
解方程Ax=bAx=bAx=b三种方法：
- 如果n×nn\times nn×n的矩阵AAA是可逆的，那么可以用MATLAB中的反斜杠求解：x=A\bx=A \backslash bx=A\b
A =1 24 7>> [n,n] = size(A)
n =2
n =2>> b = rand(n,1)
b =0.54690.9575>> x1= A\b //MATLAB中使用反斜杠“\”法直接求x
x1 =-1.91321.2300
- （此方法通用性好）不论矩阵AAA是否可逆的，可以先把矩阵AAA和矩阵bbb构成增广矩阵[Ab][A \qquad b][Ab]，再把此增广矩阵化简为简化阶梯阵即可。
>> C = [A b]
C =1.0000 2.0000 0.54694.0000 7.0000 0.9575>> rref(C) // MATLAB中rref函数将矩阵化简为简化阶梯阵。
ans =1.0000 0 -1.91320 1.0000 1.2300
可见，化简得到的简化阶梯阵最后一列[−1.91321.2300]\begin{bmatrix}-1.9132\\1.2300\end{bmatrix}[−1.91321.2300]即为方程的解，与方法1结果相同。
- 如果n×nn\times nn×n的矩阵AAA是可逆的，可以求矩阵AAA的逆A−1A^{-1}A−1，则方程的解为：x=A−1bx=A^{-1}bx=A−1b
A =1 24 7>> Ai = inv(A) //函数inv求矩阵A的逆
Ai =-7 24 -1>> x2 = Ai * b
x2 =-1.91321.2300
可见解得的结果与上面两种方法相同。
关于Hilbert矩阵及其逆的求法：
该矩阵为方阵，中任意元素表示为Aij=1i+j−1A_{ij}=\frac {1}{i+j-1}Aij=i+j−11。Hilbert矩阵是高度病态的，任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的行列式的值和逆矩阵都会发生巨大变化，病态程度和阶数相关。
Hilbert矩阵（HHH）阶数越大，其病态程度越严重，使用浮点数计算来解方程Hx=bHx=bHx=b的误差就越大。
MATLAB里面有内置函数invhilb(n)来计算n阶Hilbert矩阵的逆，输出的解为精确解，如下：
>> H = hilb(5) //生成5阶Hilbert矩阵
H =1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 >> invhilb(5) //求5阶Hilbert矩阵逆的精确解
ans =25 -300 1050 -1400 630 -300 4800 -18900 26880 -12600 1050 -18900 79380 -117600 56700 -1400 26880 -117600 179200 -88200 630 -12600 56700 -88200 44100 病态矩阵与良态矩阵：
一个可逆矩阵是病态的（ill-conditioned），即中的某些元素稍作改变就会变成奇异矩阵（不可逆矩阵），矩阵的逆和以其为系数矩阵的方程组的解对微小的扰动十分敏感，这类矩阵叫病态矩阵，或接近奇异的矩阵。这类矩阵会给数值求解带来很大困难。
矩阵病态的反面是良态（well-conditioned），关于良态矩阵与病态矩阵的判断，可以使用条件数（Condition Number）作为依据，见下文。
在MATLAB中实现上面三种方法，对于求解存在该类矩阵的方程（如Ax=bAx=bAx=b中AAA为Hilbert矩阵），精确度都是不太够的，可能会有warning。
>> A = hilb(20) //生成20阶的Hilbert矩阵
A =Columns 1 through 51 1/2 1/3 1/4 1/5 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11 1/8 1/9 1/10 1/11 1/12 1/9 1/10 1/11 1/12 1/13 1/10 1/11 1/12 1/13 1/14 1/11 1/12 1/13 1/14 1/15 1/12 1/13 1/14 1/15 1/16 1/13 1/14 1/15 1/16 1/17 1/14 1/15 1/16 1/17 1/18 1/15 1/16 1/17 1/18 1/19 1/16 1/17 1/18 1/19 1/20 1/17 1/18 1/19 1/20 1/21 1/18 1/19 1/20 1/21 1/22 1/19 1/20 1/21 1/22 1/23 1/20 1/21 1/22 1/23 1/24 Columns 6 through 101/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11 1/8 1/9 1/10 1/11 1/12 1/9 1/10 1/11 1/12 1/13 1/10 1/11 1/12 1/13 1/14 1/11 1/12 1/13 1/14 1/15 1/12 1/13 1/14 1/15 1/16 1/13 1/14 1/15 1/16 1/17 1/14 1/15 1/16 1/17 1/18 1/15 1/16 1/17 1/18 1/19 1/16 1/17 1/18 1/19 1/20 1/17 1/18 1/19 1/20 1/21 1/18 1/19 1/20 1/21 1/22 1/19 1/20 1/21 1/22 1/23 1/20 1/21 1/22 1/23 1/24 1/21 1/22 1/23 1/24 1/25 1/22 1/23 1/24 1/25 1/26 1/23 1/24 1/25 1/26 1/27 1/24 1/25 1/26 1/27 1/28 1/25 1/26 1/27 1/28 1/29 Columns 11 through 151/11 1/12 1/13 1/14 1/15 1/12 1/13 1/14 1/15 1/16 1/13 1/14 1/15 1/16 1/17 1/14 1/15 1/16 1/17 1/18 1/15 1/16 1/17 1/18 1/19 1/16 1/17 1/18 1/19 1/20 1/17 1/18 1/19 1/20 1/21 1/18 1/19 1/20 1/21 1/22 1/19 1/20 1/21 1/22 1/23 1/20 1/21 1/22 1/23 1/24 1/21 1/22 1/23 1/24 1/25 1/22 1/23 1/24 1/25 1/26 1/23 1/24 1/25 1/26 1/27 1/24 1/25 1/26 1/27 1/28 1/25 1/26 1/27 1/28 1/29 1/26 1/27 1/28 1/29 1/30 1/27 1/28 1/29 1/30 1/31 1/28 1/29 1/30 1/31 1/32 1/29 1/30 1/31 1/32 1/33 1/30 1/31 1/32 1/33 1/34 Columns 16 through 201/16 1/17 1/18 1/19 1/20 1/17 1/18 1/19 1/20 1/21 1/18 1/19 1/20 1/21 1/22 1/19 1/20 1/21 1/22 1/23 1/20 1/21 1/22 1/23 1/24 1/21 1/22 1/23 1/24 1/25 1/22 1/23 1/24 1/25 1/26 1/23 1/24 1/25 1/26 1/27 1/24 1/25 1/26 1/27 1/28 1/25 1/26 1/27 1/28 1/29 1/26 1/27 1/28 1/29 1/30 1/27 1/28 1/29 1/30 1/31 1/28 1/29 1/30 1/31 1/32 1/29 1/30 1/31 1/32 1/33 1/30 1/31 1/32 1/33 1/34 1/31 1/32 1/33 1/34 1/35 1/32 1/33 1/34 1/35 1/36 1/33 1/34 1/35 1/36 1/37 1/34 1/35 1/36 1/37 1/38 1/35 1/36 1/37 1/38 1/39 >> b = rand(20,1) //生成b向量
b =687/712 589/3737 6271/6461 581/607 614/1265 1142/1427 689/4856 407/965 1065/1163 61/77 1966/2049 3581/5461 489/13693 439/517 283/303 1481/2182 979/1292 541/728 1645/4194 1406/2145 >> x1 = A\b //反斜杠法求解x=A\b
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be
inaccurate. RCOND = 5.231543e-20. //此处为Warning，x1 =
-3424659463
528255780716
-19975903782848
321018859628437
-2688760131266522
12761814815871434
-34399090053517208
45897097341921456
-7254237859641766
-37322034685407312
-49284163552153728
217508096052998944
-205446702755182752
64773453754244512
-105964986075521504
193373000517961920
-30851727609549800
-163776311038511840
135720005301748528
-33347024092943792 R = rref([A b]); x3 = R(:,21) //方法2求解，化简阶梯阵的方法，此方法最通用，没有warning。
x3 =0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 >> x2=inv(A)*b //方法3求解，矩阵A的逆乘b
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be
inaccurate. RCOND = 9.542396e-20. x2 =
-3095618963
478515839234
-18128046963749
291709089884240
-2443748498671269
11565944181737902
-30772016457394916
38422934259310336
6062876912518655
-64009870499747464
-815625744960023
161923881096513024
-174734421275108320
49731260512141016
-57082196217625456
111820626128154624
24957912964649792
-173285108058004640
129261793086585504
-30878300969326916
误差讨论：
上面的Warning中的“RCOND”表示条件数的倒数（reciprocal），如果这个值很小，则表示条件数很大，也就是说矩阵求解的误差越大。
条件数很大的矩阵是病态矩阵，对矩阵中元素很小的扰动会对结果产生很大影响。上面对含有Hilbert矩阵的方程进行求解过程中得到的RCOND = 9.542396e-20或RCOND = 5.231543e-20都是很小的，表示条件数都非常大，所以，产生上面报警的计算是非常不精确的。
由于MATLAB中的反斜杠求解Ax=bAx=bAx=b（矩阵AAA是可逆方阵）算法是使用了部分主元法的LU分解法，使用部分主元法的算法计算量较小，且舍入误差较小。所以这种方法误差总体来说较小。
如果使用inv(A)先求A的逆，再x2=inv(A)*b的话，MATLAB先计算inv(A)，也就是求解Ax=eiAx=e_iAx=ei，eie_iei是单位矩阵III中的每一列向量，这样每一列向量eie_iei对应的解向量xxx求出后，拼合起来就是矩阵AAA的逆A−1A^{-1}A−1，最后计算A−1bA^{-1}bA−1b。可见此种计算方法的计算量很大，所以每步的误差积累更多，总体误差更大。
对于使用rref( )求增广矩阵的简化阶梯式的方法，由于这种算法不检测矩阵是病态还是良态（所以不会提示矩阵是否是近奇异的或者病态的），仅在小的矩阵中比较精确，矩阵很大则计算很慢，但是这并不是说这种方法就最精确，其误差和上述两种方法在一个量级，但是一般不使用这种方法。
关于条件数（Condition Number）
条件数越大，矩阵越接近于奇异。单位矩阵的条件数是1，奇异矩阵的条件数为无穷大。在极端情况下，矩阵计算程序可能无法区别奇异矩阵与病态矩阵。
当条件数很大时，矩阵计算可能产生很大的误差。
定义：矩阵AAA的条件数（Condition Number）为∣∣A∣∣∣∣A−1∣∣||A||\space ||A^{-1}||∣∣A∣∣ ∣∣A−1∣∣。
计算方法有很多种，如：矩阵AAA是可逆矩阵，其最大奇异值和最小奇异值之比σ1σn\frac {\sigma_1}{\sigma_n}σnσ1就是矩阵AAA的条件数。
MATLAB中计算矩阵条件数的函数：cond( )。例如：
A =0.7060 0.8235 0.4387 0.4898 0.27600.0318 0.6948 0.3816 0.4456 0.67970.2769 0.3171 0.7655 0.6463 0.65510.0462 0.9502 0.7952 0.7094 0.16260.0971 0.0344 0.1869 0.7547 0.1190>> cond(A) //计算矩阵A的条件数
ans =7.4466
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