文章目录

一、闭包求法
二、求闭包示例 ( 关系图角度 )
三、求闭包示例 ( 关系矩阵角度 )
四、闭包运算与关系性质
五、闭包复合运算

一、闭包求法

RRR 关系是 AAA 集合上的二元关系 , R⊆AR \subseteq AR⊆A , 且 AAA 集合不为空集 , A≠∅A \not= \varnothingA=∅

求自反闭包 : r(R)=R∪IAr(R) = R \cup I_Ar(R)=R∪IA , 给每个顶点添加环 ;

如果 RRR 关系是自反的 , 当且仅当 , IA⊆RI_A \subseteq RIA⊆R

求对称闭包 : s(R)=R∪R−1s(R) = R \cup R^{-1}s(R)=R∪R−1

原来没有有向边 ( 有序对 ) , 自然也没有对应的逆 , 此时不添加边
原来有一条有向边 ( 有序对 ) , 再添加一个反向的有向边 , 组成关系图中的顶点间的双向有向边
原来有两条有向边 ( 有序对 ) , 此时就不用添加其它边
如果 RRR 关系是对称的 , 当且仅当 , R=R−1R = R^{-1}R=R−1

求传递闭包 : t(R)=R∪R2∪R3∪⋯t(R) = R \cup R^2 \cup R^3 \cup \cdotst(R)=R∪R2∪R3∪⋯

将 RRR 关系所有的幂运算值并起来 , 就是其传递闭包 , RRR 关系的 111 次幂 , RRR 关系的 222 次幂 , RRR 关系的 333 次幂 , ⋯\cdots⋯ , RRR 关系的 nnn 次幂 , 并起来 , 就是其传递闭包 ;

如果 AAA 是有穷集 , 其关系也是有穷的 , 求出其所有的 nnn 次幂 , 不用求出很多幂运算 , 因为关系的幂运算后面都是循环的 , 求出已知的所有 nnn 次幂取并集即可 ;

如果 RRR 关系是传递的 , 当且仅当 , R2⊆RR^2 \subseteq RR2⊆R

二、求闭包示例 ( 关系图角度 )

集合 A={a,b,c,d}A = \{ a, b, c , d \}A={a,b,c,d}

关系 R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}R = \{ <a,b> , <b,a> , <b,c> , <c,d> \}R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}

求关系 RRR 的自反闭包 r(R)r(R)r(R) , 对称闭包 s(R)s(R)s(R) , 传递闭包 t(R)t(R)t(R)

求自反闭包 : 就是给每个顶点加上环 :

求对称闭包 : 将顶点间单向边改成双向边 , 不管顶点间双向边和顶点间没有边的情况 ;

求传递闭包 : 将能到的点直接连起来 ;

a 可以到 b , 路径 a -> b ; a 可以到 c , 路径是 a -> b -> c ; a 可以到 d , 路径是 a -> b -> c -> d ; 因此添加 a 到 c , d 的有向边 ;
b 可以到 a , 路径 b -> a ; b 可以到 c , 路径是 b -> c ; b 可以到 d , 路径是 b -> c -> d ; 因此添加 b 到 d 的有向边 ;
c 可以到 d , 路径 c -> d ; 没有可连接的边 ;
d 哪都到不了 , 没有可连接的边 ;
另外出现双向边时 , 两个顶点必须加环 ;

三、求闭包示例 ( 关系矩阵角度 )

关系 R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}R = \{ <a, b> , <b,a> , <b,c> , <c,d> \}R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}

使用关系矩阵方法求其自反闭包 , 对称闭包 , 传递闭包 ;

将上述关系写成矩阵形式为 :

M(R)=[0100101000010000]M(R) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}M(R)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0100100001000010⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

自反闭包 : 将主对角线值 , 全部改成 111 , 左上角到右下角为主对角线 ;

M(r(R))=[1100111000110001]M(r(R)) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}M(r(R))=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1100110001100011⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

对称闭包 : 主对角线两端要对称 , 以对角线为基准 , 使对角线两边的值对称 ;

M(s(R))=[0100101001010010]M(s(R)) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}M(s(R))=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0100101001010010⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

传递闭包 : 求该关系矩阵的二次幂 , 三次幂 , 四次幂 , ⋯\cdots⋯ , 直到出现相同的循环的值为止 ;

将上述所有的不同的矩阵幂运算进行逻辑相加 ( 或 ) 操作 , 就是其传递闭包对应的矩阵 , 计算机算法适合使用该方法 , 如果人计算 , 还是关系图比较形象 ;

注意逆序合成

M(R2)=M(R∘R)=M(R)∙M(R)=[0100101000010000]∙[0100101000010000]=[1010010100000000]M(R^2) = M(R \circ R) = M(R) \bullet M(R) =\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}M(R2)=M(R∘R)=M(R)∙M(R)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0100100001000010⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤∙⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0100100001000010⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1000010010000100⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

M(R3)=M(R2∘R)=M(R)∙M(R2)=[0100101000010000]∙[1010010100000000]=[0101101000000000]M(R^3) = M(R^2 \circ R) = M(R) \bullet M(R^2) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}M(R3)=M(R2∘R)=M(R)∙M(R2)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0100100001000010⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤∙⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1000010010000100⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0100100001001000⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

M(R4)=M(R3∘R)=M(R)∙M(R3)=[0100101000010000]∙[0101101000000000]=[1010010100000000]=M(R2)M(R^4) = M(R^3 \circ R) = M(R) \bullet M(R^3) =\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = M(R^2)M(R4)=M(R3∘R)=M(R)∙M(R3)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0100100001000010⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤∙⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0100100001001000⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1000010010000100⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=M(R2)

因此其 R4R^4R4 之后的幂运算值 , 偶数次幂关系矩阵与 M(R2)M(R^2)M(R2) 值相同 , 奇数次幂关系矩阵与 M(R3)M(R^3)M(R3) 值相同 ;

M(t(R))=M(R)∨M(R2)∨M(R3)=[1111111100000000]M(t(R)) = M(R) \lor M(R^2) \lor M(R^3) =\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}M(t(R))=M(R)∨M(R2)∨M(R3)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1100110011001100⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

四、闭包运算与关系性质

	自反性	对称性	传递性
r(R)r(R)r(R)	111 ( 本身性质 )	111	111
r(R)r(R)r(R)	111	111 ( 本身性质 )
r(R)r(R)r(R)	111	111	111 ( 本身性质 )

上述表格中值为 111 , 说明原来存在该性质 , 求对应的自反/对称/传递闭包后 , 仍具有该性质 , 反之不具有该性质 ;

表格第二行含义 : r(R)r(R)r(R) 对应的行 ;

自反性 : 假如 RRR 原来是自反的 , 那么 r(R)r(R)r(R) 也是自反的 ;
对称性 : 假如 RRR 原来是对称的 , 那么 r(R)r(R)r(R) 也是对称的 ; 求自反闭包 , 只是给顶点加环 , 不影响对称性 ;
传递性 : 假如 RRR 原来是传递的 , 那么 r(R)r(R)r(R) 也是传递的 ; 求自反闭包 , 只是给顶点加环 , 不影响传递性 ;

仅有一个特例 : 原来 RRR 是传递的 , 如果求对称闭包 , 其对称闭包的传递性就不存在了 ;

表格第二列说明 ( 自反性 ) : 如果 RRR 关系是自反的 , 那么其对称闭包 s(R)s(R)s(R) 和传递闭包 t(R)t(R)t(R) 也是自反的 ;

R自反⇒s(R)和t(R)自反R 自反 \Rightarrow s(R) 和 t(R) 自反R自反⇒s(R)和t(R)自反

表格第三列说明 ( 对称性 ) : 如果 RRR 关系是对称的 , 那么其自反闭包 r(R)r(R)r(R) 和传递闭包 t(R)t(R)t(R) 也是对称的 ;

R对称⇒r(R)和t(R)对称R 对称 \Rightarrow r(R) 和 t(R) 对称R对称⇒r(R)和t(R)对称

表格第四列说明 ( 传递性 ) : 如果 RRR 关系是传递的 , 那么其自反闭包 r(R)r(R)r(R) 也是传递的 ;

R传递⇒r(R)传递R 传递 \Rightarrow r(R) 传递R传递⇒r(R)传递

五、闭包复合运算

RRR 关系是 AAA 集合上的二元关系 , R⊆AR \subseteq AR⊆A , 且 AAA 集合不为空集 , A≠∅A \not= \varnothingA=∅

1. rs(R)=sr(R)rs(R) = sr(R)rs(R)=sr(R) :

rs( R ) : 先求 RRR 关系的自反闭包 , 然后再求自反闭包的对称闭包
sr( R ) : 先求 RRR 关系的对称闭包 , 然后再求对称闭包的自反闭包
上述两个闭包运算的结果相同

2. rt(R)=tr(R)rt(R) = tr(R)rt(R)=tr(R)

rt( R ) : 先求 RRR 关系的自反闭包 , 然后再求自反闭包的传递闭包
tr( R ) : 先求 RRR 关系的传递闭包 , 然后再求传递闭包的自反闭包
上述两个闭包运算的结果相同

3. st(R)⊆ts(R)st(R) \subseteq ts(R)st(R)⊆ts(R)

st( R ) : 先求 RRR 关系的对称闭包 , 然后再求对称闭包的传递闭包
ts( R ) : 先求 RRR 关系的传递闭包 , 然后再求传递闭包的对称闭包
上述两个闭包运算的结果 , ts(R)ts(R)ts(R) 关系包含 st(R)st(R)st(R) 关系 ;

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