一、算法原理

1、问题引入

之前我们了解过的算法大部分都是无约束优化问题，其算法有：黄金分割法，牛顿法，拟牛顿法，共轭梯度法，单纯性法等。但在实际工程问题中，大多数优化问题都属于有约束优化问题。惩罚函数法就可以将约束优化问题转化为无约束优化问题，从而使用无约束优化算法。

2、约束优化问题的分类

约束优化问题大致分为三类：等式约束、不等式约束、等式+不等式约束。

其数学模型为：

等式约束

$min f(x),x\in R^n$

s.t $hv(x)=0,v=1,2,...,p<n$

不等式约束

$min f(x),x\in R^n$

s.t $gu(x)\leqslant 0,u=1,2,...,p<n$

等式+不等式约束问题

$min f(x),x\in R^n$

s.t $hv(x)=0,v=1,2,...,p<n$

s.t $gu(x)\leqslant 0,u=1,2,...,p<n$

3、惩罚函数法定义

惩罚函数法（SUMT法）又称序列无约束极小化技术，将等式约束与不等式约束的条件，经过适当定义的复合函数加到原目标函数上构造了惩罚函数，从而取消了约束，转而求解一系列无约束优化问题。

按照惩罚函数再优化过程中的迭代点是否在约束条件的可行域内，又分为内点法、外点法和混合法

内点法：迭代点再约束条件的可行域之内，只用于不等式约束。

外点法：迭代点再约束条件的可行域之外，既用于不等式约束又可用于等式约束。

4、外点惩罚函数法

等式约束：

$min f=x1.^2+x2.^2,x\in R^n$

s.t $h1(x)=x1-2=0,h2(x)=x2+3=0$

算法步骤

a、构造惩罚函数：F=f+M * { [ h1(x) ]^2 + [ h2(x) ]^2 } ，式中M为初始惩罚因子；

b、然后用无约束优化极值算法求解(牛顿法)；

c、如果相邻两次惩罚函数无约束最优点之间的距离足够小【norm(x1-x0)<eps】，则收敛；

否则放大惩罚因子M=C*M，式中C为罚因子放大系数；

d、转步骤a继续迭代；

matlab代码

关于牛顿法的具体讲解，给出该博客网址https://blog.csdn.net/STM89C56/article/details/105643162

%% 外点惩罚函数法-等式约束
syms x1 x2
f=x1.^2+x2.^2;
hx=[x1-2;x2+3];%列x0=[0;0];
M=0.01;
C=2;
eps=1e-6;
[x,result]=waidian_EQ(f,x0,hx,M,C,eps)function [x,result]=waidian_EQ(f,x0,hx,M,C,eps)
% f 目标函数
% x0 初始值
% hx 约束函数
% M 初始罚因子
% C 罚因子放大系数
% eps 容差%计算惩罚项
CF=sum(hx.^2);  %chengfawhile 1F=matlabFunction(f+M*CF);%目标函数，使用之前的牛顿法，需要转换成句柄x1=Min_Newton(F,x0,eps,100);if norm(x1-x0)<epsx=x1;result=double(subs(f,symvar(f),x'));break;elseM=M*C;x0=x1;end
end
end
%牛顿法
function [X,result]=Min_Newton(f,x0,eps,n)
%f为目标函数
%x0为初始点
%eps为迭代精度
%n为迭代次数
TiDu=gradient(sym(f),symvar(sym(f)));% 计算出梯度表达式
Haisai=jacobian(TiDu,symvar(sym(f)));
Var_Tidu=symvar(TiDu);
Var_Haisai=symvar(Haisai);
Var_Num_Tidu=length(Var_Tidu);
Var_Num_Haisai=length(Var_Haisai);TiDu=matlabFunction(TiDu);
flag = 0;
if Var_Num_Haisai == 0  %也就是说海塞矩阵是常数Haisai=double((Haisai));flag=1;
end
%求当前点梯度与海赛矩阵的逆
f_cal='f(';
TiDu_cal='TiDu(';
Haisai_cal='Haisai(';
for k=1:length(x0)f_cal=[f_cal,'x0(',num2str(k),'),'];for j=1: Var_Num_Tiduif char(Var_Tidu(j)) == ['x',num2str(k)]TiDu_cal=[TiDu_cal,'x0(',num2str(k),'),'];endendfor j=1:Var_Num_Haisaiif char(Var_Haisai(j)) == ['x',num2str(k)]Haisai_cal=[Haisai_cal,'x0(',num2str(k),'),'];endend
end
Haisai_cal(end)=')';
TiDu_cal(end)=')';
f_cal(end)=')';switch flagcase 0Haisai=matlabFunction(Haisai);dk='-eval(Haisai_cal)^(-1)*eval(TiDu_cal)';case 1dk='-Haisai^(-1)*eval(TiDu_cal)';Haisai_cal='Haisai';
endi=1;
while i < n if abs(det(eval(Haisai_cal))) < 1e-6disp('逆矩阵不存在！');break;endx0=x0(:)+eval(dk);if norm(eval(TiDu_cal)) < epsX=x0;result=eval(f_cal);return;endi=i+1;
end
disp('无法收敛！');
X=[];
result=[];
end

不等式约束：

$min f=x1.^2+(x2-2).^2,x\in R^n$

s.t $g1(x)=x1-1\geqslant =0,h2(x)=x2-2\geqslant =0$

算法步骤

a、构造惩罚函数：F=f+M * u*{ [ g1(x) ]^2 + [ g2(x) ]^2 } ，式中M为初始惩罚因子,

$u=1 ,g(x)<0;u=0,g(x)>=0$ ,(外电惩罚函数，迭代点再可行域之外，不等式约束才起作用)

b、然后用无约束优化极值算法求解；

c、如果相邻两次惩罚函数无约束最优点之间的距离足够小【norm(x1-x0)<eps】，则收敛；

否则放大惩罚因子M=C*M，式中C为罚因子放大系数；

d、转步骤a继续迭代；

matlab代码

牛顿法代码与等数约束相同这里不再给出

%% 外点惩罚函数法-不等式约束
syms x1 x2
f=x1.^2+(x2-2).^2;% x1-1>=0,x2-2>=0
g=[x1-1;-x2+2];%修改成大于等于形式x0=[0 0];
M=0.03;
C=3;
eps=1e-6;
[x,result]=waidian_Neq(f,g,x0,M,C,eps,100)function [x,result]=waidian_Neq(f,g,x0,M,C,eps,k)
% f 目标函数
% g 不等式约束函数矩阵
% x0 初始值
% M 初始惩罚因子
% C 罚因子放大倍数
% eps 退出容差
% k 循环次数
n=1;
while n<k%首先判断是不是在可行域内gx=double(subs(g,symvar(g),x0));%计算当前点的约束函数值index=find(gx<0);%寻找小于0的约束函数F_NEQ=sum(g(index).^2);F=matlabFunction(f+M*F_NEQ);x1=Min_Newton(F,x0,eps,100);x1=reshape(x1,1,length(x0))if norm(x1-x0)<epsx=x1;result=double(subs(f,symvar(f),x));break;elseM=M*C;x0=x1;endn=n+1;
end

混合约束：

$min f=(x1-2).^2+(x2-1).^2,x\in R^n$

s.t $g1(x)=-0.25*x1.^2-x2.^2+1\geqslant 0$

$h2(x)=x1-2*x2+1 =0$

算法步骤

a、构造惩罚函数：F=f+M * { u*[ g1(x) ]^2 + [ h2(x) ]^2 } ，式中M为初始惩罚因子,

$u=1 ,g(x)<0;u=0,g(x)>=0$ ,(外电惩罚函数，迭代点再可行域之外，不等式约束才起作用)

b、然后用无约束优化极值算法求解；

c、如果相邻两次惩罚函数无约束最优点之间的距离足够小【norm(x1-x0)<eps】，则收敛；

否则放大惩罚因子M=C*M，式中C为罚因子放大系数；

d、转步骤a继续迭代；

matlab代码

%% 外点惩罚函数-混合约束
syms x1 x2
f=(x1-2)^2+(x2-1)^2;
g=[-0.25*x1^2-x2^2+1];%修改成大于等于形式
h=[x1-2*x2+1];x0=[2 2];
M=0.01;
C=3;
eps=1e-6;
[x,result]=waidian_hunhe(f,g,h,x0,M,C,eps,100)function [x,result]=waidian_hunhe(f,g,h,x0,M,C,eps,k)
% f 目标函数
% g 不等式约束函数矩阵
% h 等式约束函数矩阵
% x0 初始值
% M 初始惩罚因子
% C 罚因子放大倍数
% eps 退出容差
% 循环次数CF=sum(h.^2);  %chengfa
n=1;
while n<k%首先判断是不是在可行域内gx=double(subs(g,symvar(g),x0));%计算当前点的约束函数值index=find(gx<0);%寻找小于0的约束函数F_NEQ=sum(g(index).^2);F=matlabFunction(f+M*F_NEQ+M*CF);x1=Min_Newton(F,x0,eps,100);x1=x1'if norm(x1-x0)<epsx=x1;result=double(subs(f,symvar(f),x));break;elseM=M*C;x0=x1;endn=n+1;
end
end

5、内点惩罚函数法

$min f=x1.^2+x2.^2,x\in R^n$

s.t $g1(x)=x1+x2-1\geqslant 0$

$g2(x)=2*x1-x2-2 \geqslant 0$

算法步骤

a、构造惩罚函数：F=f+M * 1/{ g1(x) + g2(x) } ，式中M为初始惩罚因子,

b、然后用无约束优化极值算法求解；

c、如果相邻两次惩罚函数无约束最优点之间的距离足够小【norm(x1-x0)<eps】，则收敛；

否则缩小惩罚因子M=C*M，式中C为罚因子缩小系数；

d、转步骤a继续迭代；

matlab代码

%% 内点惩罚函数
syms x1 x2 x
f=x1.^2+x2.^2;
g=[x1+x2-1;2*x1-x2-2];
x0=[3 1];
M=10;
C=0.5;
eps=1e-6;
[x,result]=neidian(f,g,x0,M,C,eps,100)function [x,result]=neidian(f,g,x0,M,C,eps,k)
% f 目标函数
% g 不等式约束函数矩阵
% h 等式约束函数矩阵
% x0 初始值
% M 初始障碍因子
% C 障碍因子缩小倍数
% eps 退出容差
% k 循环次数%惩罚项
Neq=sum((1./g));n=1;
while n<kF=matlabFunction(f+M*Neq);[x1,result]=Min_Newton(F,x0,eps,100);x1=reshape(x1,1,length(x0));tol=double(subs(Neq,symvar(Neq),x1)*M);if tol < epsif norm(x1-x0) < epsx=x1;result=double(subs(f,symvar(f),x));break;elsex0=x1;M=M*C;endelseif norm(x1-x0) < epsx=x1;result=double(subs(f,symvar(f),x));break;elsex0=x1;M=M*C;endendn=n+1;
end
end

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