我国高等数学教材不能误导学生

４年前，我提出这个观点，至今无人理睬。现在，重新发布此文，以飨读者。

袁萌　　１０月１６日

附：关于传统微积分学的病态

_{此文发表时间：}2013-10-12

　　在传统微积分学中，关于函数f的(逐点定义)导数（Derivatives）是一个最基本的概念。但是，它有时却给传统微积分学带来了麻烦，使传统微积分学出现反直观的“病态”（Pathology）。

　　给定函数

　　f(x) = 0,　　if x = 0;

　　f(x) = x + x2sin(π/x)　　if x ≠ 0

　　注：式中”x2”代表x的二次方。

　　容易证明，该函数f在0点处的导数值f'(0) = 1 > 0，但是，该函数f在包含0点的任意领域内都不是“增函数”，函数图形呈现出上下摆动状态，直接违反了人的直观预期。

　　我国现行普通高校“十一五”国家级规划教材《高等数学》（同济大学编写）第三章第四节（函数单调性的判定，第145页）写道：“......函数的单调性与导数的符号有着密切的联系”，严重误导了90后在校大学生。

　　针对逐点定义导数的这种“病态”，K.D.Stroyan教授建议采用所谓”一致性导数“（UniformDerivatives）。实际上，引入“一致性导数”的最佳途径是回归无穷小微积分学。

　　在无穷小微积分学里面，如果函数f满足条件：

（*） f(x + ∆x)- f(x) = f'(x)∆x + ε ∆x

　　∀x ∈ (a，b)

其中∆x与ε都是所谓的“无穷小”，则称函数f'是函数f在开区间（a，b）中的“一致性导数”。

　　我们注意一件很有意思的事情：在以上（*)式中，如果在∆x的尺度上来看该函数的微观局部图形（表现），由于“ε∆”这一尾项是相对于∆x的更为微小的”数量“（Teeny tinyquantity），因而，用肉眼是应该看不见的。这就是说，上述（*）式变成了f(x + ∆x) - f(x)= f'(x)∆x，这正好是一条无穷小的直线段，印证了“curves consist ofinfinitesimal straight segments”这句古话，意思是，曲线是由无穷小的直线段所组成。严格地讲，传统微积分学关于曲线与其切线的示意图都是脱离实际的，完全是杜撰出来的。

　　当前，在科技发达国家，无穷小又回归微积分学。这是不奇怪的事情，因为，基于现代数学严格意义上的无穷小（量）只是一种无限接近于零的超实数而已，不是什么”玄学“的研究对象。

（全文完）

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