c语言薛定谔方程,如何解薛定谔方程？-- k

原标题：如何解薛定谔方程？-- k · p method

注：这是三年前写的"如何解薛定谔方程"系列之一，当时未完待续，现在续一下！

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Tight-binding, the pseudopotential, the k · p method是三种最常见的能带计算方法。他们的区别在于基函数的选取，分别对应: atomic-like, plane-wave, Blochstates。这三种方法各有优劣势，这里主要介绍k · p方法的思想。

该方法由Bardeen (1937) and Seitz (1940)最早使用, Shockley, Dresselhaus, Kittel, and Kane, Luttinger等人进行了拓展。

用途：

1. 得到能带关系和有效质量的解析式

2. 可推广到整个布里渊区

3. 拓扑相关的计算

k· p Equation可由单电子的薛定谔方程得到：

单电子薛定谔方程和布洛赫函数：

其中哈密顿量为：

我们有：

带入薛定谔方程转换成周期性函数的表达式：

这就是k· p方程。

对k· p方程使用非简并的微扰论，对于一个band在k=0处展开可以得到：

这就是最基本的有效质量方程。

2-band model, CB-VB coupling only

假设波函数的线性展开

代入k dot p方程

可写成矩阵形式

可得到电子(空穴)有效质量和能带间隙的关系：

仅有两个参数就可以确定有效质量。

3-band model (Dresselhaus–Kip–Kittel Model)

先不考虑自旋轨道耦合，以金刚石一类的半导体为例，首先知道它的轨道组成以及对称性

所以gamma点valence band是由两类原子的p轨道组成

由对称性可知其一阶微扰为零，所以需要考虑二阶微扰

比如r=xy, 则需要求

由对称性可知pi=pj时上面的matrix element才非零，即

同样可以求出其他的matrix element

最后可以得到

三阶的Hamiltonian是可以得到解析解的，其特征方程为

方程很复杂，但是我们知道它有一个简并的解，就可以简单的拆分了待定系数了

最后解得

现在可以自旋轨道耦合作用了(6-band Chuang–Chang model)，

由对称性可知

令

同样basis要考虑spin

使用JMJbasis

可得这个basis下的SOC Hamiltonian

最后的结果是

原则上六阶的Hamiltonian没有解析解，但是如果不考虑heavy hole and light hole的coupling，则可以进行块对角化得到解析解。

4-band model, Kane model

现在同时考虑hole和electron (zincblende symmetry), 类似于2 band model，可得Hamiltonian

可以解得

同样考虑SOC后(8-band model)，可以得到最后的Hamiltonian

即只需要解一半的Hamiltonian

以GaAs为例，可计算得到能带结构(L-Gamma-X)

未完待续。。。

1. Voon, Lok C. Lew Yan, and Morten Willatzen. The kp method: electronic properties of semiconductors. Springer Science & Business Media, 2009.返回搜狐，查看更多

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