【张朝阳的物理课笔记】9. 瑞丽金斯公式的推导(下)，普朗克修正，黑体辐射公式

9.1 瑞丽金斯公式，紫外灾难

空腔内充斥着各种频率的波，每个谐振子都受到所有波的作用。
谐振子在频率为ω\omegaω的电场中受到的电场强度： E=E0eiωtE=E_0e^{i\omega t}E=E0eiωt
用第8课里的阻尼运动方程再加上电场：
d2xdt2=−ω02x−γdxdt+qE0eiωtm\frac {d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2x-\gamma\frac{dx}{dt}+\frac{qE_0e^{i\omega t}}mdt2d2x=−ω02x−γdtdx+mqE0eiωt
空腔内能量守恒，所以上式第二项辐射能量和第三项吸收能量是相等的。
猜测运动频率是ω\omegaω，令x=x^0eiωtx=\hat x_0e^{i\omega t}x=x^0eiωt，代入方程得：
x^0(ω02−ω2+iγω)=qE0m\hat x_0(\omega_0^2-\omega^2+i\gamma\omega)=\frac{qE_0}mx^0(ω02−ω2+iγω)=mqE0
x^0=qE0m1ω02−ω2+iγω\hat x_0=\frac{qE_0}m\frac 1{\omega_0^2-\omega^2+i\gamma\omega}x^0=mqE0ω02−ω2+iγω1
x^0\hat x_0x^0是复数（形式是：x0eiΔx_0 e^{i\Delta}x0eiΔ），电场是振动的，电荷位移被它拖着振动，所以会晚一个相位
x^02=x^x^∗=q2E02m21(ω02−ω2)2+γ2ω2\hat x_0^2=\hat x\hat x^*=\frac{q^2E_0^2}{m^2}\frac 1{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2}x^02=x^x^∗=m2q2E02(ω02−ω2)2+γ2ω21

继续分析：
ax=d2xdt2=x0ω2a_x=\frac{d^2x}{dt^2}=x_0\omega^2ax=dt2d2x=x0ω2
⟨ax2⟩=12x02ω2\langle a_x^2\rangle=\frac{1}2x_0^2\omega^2⟨ax2⟩=21x02ω2
代入：⟨P⟩=q26πϵ0c3⟨ax2⟩\langle P\rangle= \frac{q^2}{6\pi\epsilon_0c^3}\langle a_x^2\rangle⟨P⟩=6πϵ0c3q2⟨ax2⟩
⟨P⟩=q26πϵ0c312x02ω2=代入x0q2ω212πϵ0c3q2E02m21(ω02−ω2)2+γ2ω2\langle P\rangle=\frac{q^2}{6\pi\epsilon_0c^3}\frac{1}2x_0^2\omega^2\xlongequal{代入x_0}\frac{q^2\omega^2}{12\pi\epsilon_0c^3}\frac{q^2E_0^2}{m^2}\frac 1{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2}⟨P⟩=6πϵ0c3q221x02ω2代入x012πϵ0c3q2ω2m2q2E02(ω02−ω2)2+γ2ω21
入射光即频率为ω\omegaω的电磁波给谐振子的能量和电场强度的关系：I(ω)=ϵ0cEω2I(\omega)=\epsilon_0 cE_\omega^2I(ω)=ϵ0cEω2
平均能量⟨I(ω)⟩=12ϵ0cEω2\langle I(\omega)\rangle=\frac 1 2\epsilon_0 cE_\omega^2⟨I(ω)⟩=21ϵ0cEω2
⟨P⟩=I(ω)8π3r02ω4(ω02−ω2)2+γ2ω2\langle P\rangle=I(\omega)\frac {8\pi}3r_0^2\frac{\omega^4}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2}⟨P⟩=I(ω)38πr02(ω02−ω2)2+γ2ω2ω4
γ\gammaγ非常小，共振发生在ω=ω0\omega=\omega_0ω=ω0附近

谐振子的运动是被各个频率的入射光驱动的，总运动是所有频率下的和：
∫0∞Pdω=∫0∞I(ω)8π3r02ω4(ω0+ω)2(ω0−ω)2+γ2ω2dω=I(ω)各频率差不多ω≈ω0I(ω0)∫0∞8π3r0214ω2dω(ω0−ω)2+γ24=I(ω0)∫0∞23πr02ω2dω(ω0−ω)2+γ24=下界扩到−∞不影响分母很大，分子可用ω02代替I(ω0)ω02∫−∞∞23πr02dω(ω0−ω)2+γ24\int_0^\infty Pd\omega=\int_0^\infty I(\omega)\frac {8\pi}3r_0^2\frac{\omega^4}{(\omega_0+\omega)^2(\omega_0-\omega)^2+\gamma^2\omega^2}d\omega\\\xlongequal[I(\omega)各频率差不多]{\omega\approx\omega_0}I(\omega_0)\int_0^\infty \frac {8\pi}3r_0^2\frac 1 4\frac{\omega^2d\omega}{(\omega_0-\omega)^2+\frac{\gamma^2}4}\\=I(\omega_0)\int_0^\infty \frac {2}3\pi r_0^2\frac{\omega^2d\omega}{(\omega_0-\omega)^2+\frac{\gamma^2}4}\\\xlongequal[下界扩到-\infty不影响]{分母很大，分子可用\omega_0^2代替} I(\omega_0)\omega_0^2\int_{-\infty}^\infty \frac {2}3\pi r_0^2\frac{d\omega}{(\omega_0-\omega)^2+\frac{\gamma^2}4}∫0∞Pdω=∫0∞I(ω)38πr02(ω0+ω)2(ω0−ω)2+γ2ω2ω4dωω≈ω0I(ω)各频率差不多I(ω0)∫0∞38πr0241(ω0−ω)2+4γ2ω2dω=I(ω0)∫0∞32πr02(ω0−ω)2+4γ2ω2dω分母很大，分子可用ω02代替下界扩到−∞不影响I(ω0)ω02∫−∞∞32πr02(ω0−ω)2+4γ2dω
由于∫−∞∞dxx2+a2=πa\int_{-\infty}^\infty \frac {dx}{x^2+a^2}=\frac {\pi}a∫−∞∞x2+a2dx=aπ
所以
⟨P⟩=∫0∞Pdω=23πr02ω02I(ω0)πγ2=43π2r02ω02I(ω0)1γ\langle P\rangle=\int_0^\infty Pd\omega=\frac {2}3\pi r_0^2\omega_0^2I(\omega_0)\frac{\pi}{ \frac \gamma 2}=\frac {4}3\pi^2 r_0^2\omega_0^2I(\omega_0)\frac{1}{\gamma}⟨P⟩=∫0∞Pdω=32πr02ω02I(ω0)2γπ=34π2r02ω02I(ω0)γ1
任何谐振子在ω0\omega_0ω0附近的光谱乘以辐射的频率的平方等于辐射的总能量
固有频率为ω\omegaω的谐振子会吸收相光入射光，达到平衡后，根据热力学的能均分原理，谐振子在x方向的总能量为动能12KT\frac 12KT21KT加势能12KT\frac 12KT21KT=KTKTKT,x,y,z三个自由度的总能量为3KT3KT3KT

某频率电场下谐振子辐射出去的能量(上节课的公式)：
dEnergyωdt=−γEnergyω\frac {dEnergy_\omega}{dt}=-\gamma Energy_\omegadtdEnergyω=−γEnergyω
对所有频率求和：
∫ωdEnergyωdt=−γ∫0∞Energyωdω\int_\omega\frac {dEnergy_\omega}{dt}=-\gamma \int_0^{\infty}Energy_\omega d\omega∫ωdtdEnergyω=−γ∫0∞Energyωdω
dEnergytotaldt=−γEnergytotal=每个谐振子的总能量是3KT−γ(3KT)\frac {dEnergy_{total}}{dt}=-\gamma Energy_{total}\xlongequal{每个谐振子的总能量是3KT}-\gamma(3KT)dtdEnergytotal=−γEnergytotal每个谐振子的总能量是3KT−γ(3KT)
即⟨P⟩=−γ(3KT)\langle P\rangle=-\gamma(3KT)⟨P⟩=−γ(3KT)
43π2r02ω02I(ω0)1γ=−γ(3KT)\frac {4}3\pi^2 r_0^2\omega_0^2I(\omega_0)\frac{1}{\gamma}=-\gamma(3KT)34π2r02ω02I(ω0)γ1=−γ(3KT)
∴I(ω0)=94π2γ2r02ω02KT\therefore I(\omega_0)=\frac 9{4\pi^2}\frac{\gamma^2}{r_0^2\omega_0^2}KT∴I(ω0)=4π29r02ω02γ2KT
∵γ=23r0ω02c\because \gamma=\frac 2 3\frac{r_0\omega_0^2}c∵γ=32cr0ω02
∴I(ω0)=ω02π2c2KT\therefore I(\omega_0)=\frac{\omega_0^2}{\pi^2c^2}KT∴I(ω0)=π2c2ω02KT
得到瑞丽金斯公式：∴I(ω)=ω2π2c2KT\therefore I(\omega)=\frac{\omega^2}{\pi^2c^2}KT∴I(ω)=π2c2ω2KT

在低频区，公式和实验符合得非常好。
在高频区，∫I(ω)dω\int I(\omega)d\omega∫I(ω)dω是无穷大，能量无究大，紫外灾难

实际上在高频区如上图红线部分

9.2 普朗克修正，黑体辐射公式

谐振子的能级不是连续的，相邻能级间能量差是ℏω\hbar\omegaℏω,ℏ\hbarℏ是普朗克常数。
各个能级上的谐振子数目成比例衰减，如E1E_1E1能级上数目N1=N0e−ℏω/KTN_1=N_0e^{-\hbar\omega/KT}N1=N0e−ℏω/KT,N2=N0(e−ℏω/KT)2,...N_2=N_0(e^{-\hbar\omega/KT})^2,...N2=N0(e−ℏω/KT)2,...，令x=e−ℏω/KTx=e^{-\hbar\omega/KT}x=e−ℏω/KT,则Nn=N0xnN_n=N_0x^nNn=N0xn

平均能量不等于KT,而是
⟨E⟩=Σ(各能级粒子数∗能级能量)Σ各能级粒子数=N0ℏω(0+x+2x2+3x3+...)N0(1+x+x2+x3+...)\langle E\rangle=\frac{\Sigma (各能级粒子数*能级能量)}{\Sigma 各能级粒子数}=\frac{N_0\hbar\omega(0+x+2x^2+3x^3+...)}{N_0(1+x+x^2+x^3+...)}⟨E⟩=Σ各能级粒子数Σ(各能级粒子数∗能级能量)=N0(1+x+x2+x3+...)N0ℏω(0+x+2x2+3x3+...)
分母括号里=11−x\frac 1{1-x}1−x1
设y=1+x+x2+x3+...y=1+x+x^2+x^3+...y=1+x+x2+x3+...
分子括号里=xdydx=xd(11−x)dx=x(1−x)2x\frac{dy}{dx}=x\frac{d(\frac 1{1-x})}{dx}=\frac x{(1-x)^2}xdxdy=xdxd(1−x1)=(1−x)2x
∴⟨E⟩=ℏω111−xx(1−x)2=ℏωx1−x=ℏωeℏω/KT−1\therefore \langle E\rangle=\hbar\omega \frac{1}{\frac{1}{1-x}}\frac x{(1-x)^2}=\hbar\omega\frac{x}{1-x}=\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/KT}-1}∴⟨E⟩=ℏω1−x11(1−x)2x=ℏω1−xx=eℏω/KT−1ℏω

用这个普朗克修正过的⟨E⟩\langle E\rangle⟨E⟩替换瑞丽金斯公式中的⟨E⟩\langle E\rangle⟨E⟩(即KTKTKT)
I(ω)=ω2π2c2ℏωeℏω/KT−1I(\omega)=\frac{\omega^2}{\pi^2c^2}\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/KT}-1}I(ω)=π2c2ω2eℏω/KT−1ℏω,得到普朗克黑体辐射公式:
I(ω)=ℏπ2c2ω3eℏω/KT−1I(\omega)=\frac\hbar{\pi^2c^2}\frac{\omega^3}{e^{\hbar\omega/KT}-1}I(ω)=π2c2ℏeℏω/KT−1ω3
与瑞丽金斯公式相比，分子从频率平方变成频率立方，但是普朗克公式的分母比较强大，高频区的红线下弯，靠分母实现了。