CINTA：陪集与拉格朗日定理

1.设G\mathbb{G}G是群，H\mathbb{H}H是G\mathbb{G}G的子群。任取g1_11,g2_22∈\in∈G\mathbb{G}G,则g1_11H\mathbb{H}H=g2_22H\mathbb{H}H当且仅当g1−1_1^{-1}1−1g2_22∈\in∈H\mathbb{H}H。

证：
根据陪集的定义，
g1_11H\mathbb{H}H={g1h:h∈H}\lbrace g_1h:h \in\mathbb{H}\rbrace{g1h:h∈H}，
g2_22H\mathbb{H}H={g2h:h∈H}\lbrace g_2h:h \in\mathbb{H}\rbrace{g2h:h∈H}.

证明充分性：
若∀\forall∀g1_11,g2_22∈\in∈G\mathbb{G}G，g1_11H\mathbb{H}H=g2_22H\mathbb{H}H，则根据命题8.1，g2_22∈\in∈g1_11H\mathbb{H}H。
因此，∃\exists∃h∈\in∈H\mathbb{H}H，g2_22=g1_11h。
则g1−1_1^{-1}1−1g2_22=g1−1_1^{-1}1−1g1_11h=(g1−1_1^{-1}1−1g1_11)h=eh=h，而h∈\in∈H\mathbb{H}H，因此g1−1_1^{-1}1−1g2_22∈\in∈H\mathbb{H}H。
充分性得证。

证明必要性：
因为g1−1_1^{-1}1−1g2_22∈\in∈H\mathbb{H}H，则∃\exists∃h∈\in∈H\mathbb{H}H，使得g1−1_1^{-1}1−1g2_22=h。
因此，g1_11g1−1_1^{-1}1−1g2_22=g1−1_1^{-1}1−1h∈\in∈g1_11H\mathbb{H}H.
而g1_11g1−1_1^{-1}1−1g2_22=(g1_11g1−1_1^{-1}1−1)g2_22=eg2_22=g2_22，所以g2_22∈\in∈g1_11H\mathbb{H}H，根据命题8.1，g1_11H\mathbb{H}H=g2_22H\mathbb{H}H。
必要性得证。

综上，原命题得证。

3.如果G\mathbb{G}G是群，H\mathbb{H}H是群G\mathbb{G}G的子群，且[G\mathbb{G}G:H\mathbb{H}H]=2，请证明对任意的g∈\in∈G\mathbb{G}G，gH\mathbb{H}H=H\mathbb{H}Hg。

证：
根据定理8.1，由于[G\mathbb{G}G:H\mathbb{H}H]=2，H\mathbb{H}H在G\mathbb{G}G上有2个不同的左陪集。假设这两个左陪集分别是g1_11H\mathbb{H}H和g2_22H\mathbb{H}H，其中g1_11,g2_22∈\in∈G\mathbb{G}G。
由于H\mathbb{H}H是群G\mathbb{G}G的子群，因此H\mathbb{H}H满足群公理，根据封闭性，则∀g∈H\forall g \in\mathbb{H}∀g∈H，gh∈H\in\mathbb{H}∈H。
若存在两个不同的左陪集，那么g1,g2g_1,g_2g1,g2一定是其中一个在H\mathbb{H}H中，另一个不在H\mathbb{H}H中。不妨设g1∈Hg_1\in\mathbb{H}g1∈H,g2∉Hg_2\notin\mathbb{H}g2∈/H。

①若g∈\in∈H\mathbb{H}H
由于H\mathbb{H}H是群G\mathbb{G}G的子群，因此H\mathbb{H}H满足群公理，根据封闭性，则∀g∈H\forall g \in\mathbb{H}∀g∈H，gh∈H\in\mathbb{H}∈H且hg∈H\in\mathbb{H}∈H。
根据陪集的定义，
gH\mathbb{H}H={gh:h∈H}\lbrace gh:h\in\mathbb{H}\rbrace{gh:h∈H}，
H\mathbb{H}Hg={hg:h∈H}\lbrace hg:h\in\mathbb{H}\rbrace{hg:h∈H}。
由于gh∈H\in\mathbb{H}∈H且hg∈H\in\mathbb{H}∈H，则显然，gH\mathbb{H}H=H\mathbb{H}H=H\mathbb{H}Hg。

②若g∉\notin∈/H\mathbb{H}H
根据封闭性，gh∈G\in\mathbb{G}∈G且hg∈G\in\mathbb{G}∈G，但gh∉H\notin\mathbb{H}∈/H且hg∉H\notin\mathbb{H}∈/H。那么gh∈F\in\mathbb{F}∈F且hg∈F\in\mathbb{F}∈F，F\mathbb{F}F为在G\mathbb{G}G但不在H\mathbb{H}H中的所有元素的集合，即G\mathbb{G}G的另一个子群。
根据陪集的定义，
gH\mathbb{H}H={gh:h∈H}\lbrace gh:h\in\mathbb{H}\rbrace{gh:h∈H}，
H\mathbb{H}Hg={hg:h∈H}\lbrace hg:h\in\mathbb{H}\rbrace{hg:h∈H}。
由于gh∈F\in\mathbb{F}∈F且hg∈F\in\mathbb{F}∈F，则显然gH\mathbb{H}H=F\mathbb{F}F=H\mathbb{H}Hg。

综上，原命题得证。

4.如果群H\mathbb{H}H是群G\mathbb{G}G的真子群，即存在g∈\in∈G\mathbb{G}G但是g∉\notin∈/H\mathbb{H}H。请证明∣\mid∣H\mathbb{H}H∣\mid∣≤\leq≤∣\mid∣G\mathbb{G}G∣\mid∣/// 2。

证：
若H\mathbb{H}H=G\mathbb{G}G，此时H\mathbb{H}H是G\mathbb{G}G的子群但不是真子群。根据陪集的定义，gH\mathbb{H}H={gh:h∈H}\lbrace gh:h\in\mathbb{H}\rbrace{gh:h∈H}={gh:h∈G}\lbrace gh:h\in\mathbb{G}\rbrace{gh:h∈G}。
根据封闭性，由于g,h∈G\in\mathbb{G}∈G，那么gh∈G\in\mathbb{G}∈G，则gH\mathbb{H}H=G\mathbb{G}G。
根据定理8.1，[G\mathbb{G}G:H\mathbb{H}H]为H\mathbb{H}H在G\mathbb{G}G上不同左陪集的个数，根据上述，若H\mathbb{H}H=G\mathbb{G}G，则H\mathbb{H}H在G\mathbb{G}G上左陪集只有一个，即为G\mathbb{G}G。

只有当H\mathbb{H}H是真子群的时候，存在g∈\in∈G\mathbb{G}G但是g∉\notin∈/H\mathbb{H}H，此时存在代表元为G\mathbb{G}G和H\mathbb{H}H的共有元素，形成的左陪集为H\mathbb{H}H。另外有代表元∈\in∈G\mathbb{G}G但是∉\notin∈/H\mathbb{H}H，形成的左陪集≠\not==H\mathbb{H}H，这样的代表元至少有一个。
则当H\mathbb{H}H是真子群的时候，H\mathbb{H}H在G\mathbb{G}G上不同左陪集的个数至少为2，即[G\mathbb{G}G:H\mathbb{H}H]≥\geq≥ 2。因此∣G∣/∣H∣\mid\mathbb{G}\mid/\mid\mathbb{H}\mid∣G∣/∣H∣≥\geq≥ 2，∣\mid∣H\mathbb{H}H∣\mid∣≤\leq≤∣\mid∣G\mathbb{G}G∣\mid∣/// 2。原命题得证。

5.设G\mathbb{G}G是阶为pq的群，其中p和q是素数。请证明G\mathbb{G}G的任意真子群是循环群。

证：
设G\mathbb{G}G的一个真子群是H\mathbb{H}H。设[G\mathbb{G}G:H\mathbb{H}H]=x，则∣H∣\mid\mathbb{H}\mid∣H∣=∣G∣/x\mid\mathbb{G}\mid/x∣G∣/x=pqx\frac{pq}{x}xpq。
由于∣H∣\mid\mathbb{H}\mid∣H∣一定是整数，而x为为H\mathbb{H}H在G\mathbb{G}G上不同左陪集的个数也一定为整数。而p和q都是素数，没有除了1和自身外的因子，则只有以下几种情况：
①x=p，∣H∣\mid\mathbb{H}\mid∣H∣=q
②x=q，∣H∣\mid\mathbb{H}\mid∣H∣=p
③x=1，∣H∣\mid\mathbb{H}\mid∣H∣=pq
④x=pq，∣H∣\mid\mathbb{H}\mid∣H∣=1
H\mathbb{H}H是G\mathbb{G}G的真子群，∣H∣≠∣G∣\mid\mathbb{H}\mid\not=\mid\mathbb{G}\mid∣H∣=∣G∣，排除③。
①②④中的∣H∣\mid\mathbb{H}\mid∣H∣均为素数，所以∣H∣\mid\mathbb{H}\mid∣H∣一定为素数。
根据推论8.2，H\mathbb{H}H是循环群。原命题得证。

7.使用群论的方法重新证明费尔马小定理和欧拉定理。

证明费尔马小定理：
假设群Zp∗^*_pp∗，则群的阶∣\mid∣Zp∗^*_pp∗∣\mid∣=p-1。
设a∈\in∈Zp∗^*_pp∗，根据推论7.3和命题7.5，ord(a)|(p-1)，ord(a)=p−1k\frac{p-1}{k}kp−1，其中k为正整数。
p-1=k×\times×ord(a)，
因此，ap−1^{p-1}p−1 mod p=ak×ord(a)^{k\times ord(a)}k×ord(a) mod p=(aord(a)^{ord(a)}ord(a))k^kk=ek^kk=e。
e mod p=p所以e≡\equiv≡ 1(modp)\pmod{p}(modp)，因此，ap−1^{p-1}p−1≡\equiv≡ 1(modp)\pmod{p}(modp)。原定理得证。

证明欧拉定理：
假设群Zn∗^*_nn∗，则群的阶∣\mid∣Zn∗^*_nn∗∣\mid∣=ϕ\phiϕ(n)。
设a∈\in∈Zn∗^*_nn∗，根据推论7.3和命题7.5，ord(a)|ϕ\phiϕ(n)，ord(a)=ϕ(n)k\frac{\phi(n)}{k}kϕ(n)，其中k为正整数。
ϕ\phiϕ(n)=k×\times×ord(a)，
因此，aϕ(n)^{\phi(n)}ϕ(n) mod p=ak×ord(a)^{k\times ord(a)}k×ord(a) mod p=(aord(a)^{ord(a)}ord(a))k^kk=ek^kk=e。
e mod p=p所以e≡\equiv≡ 1(modp)\pmod{p}(modp)，因此，aϕ(n)^{\phi(n)}ϕ(n)≡\equiv≡ 1(modp)\pmod{p}(modp)。原定理得证。

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