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DLX=Dancing Line X

之前学 DLX 时在网上看了好几篇博客，结合着几篇讲代码的、有图片的、说原理的，总算弄懂了。这里

DLX 是用来解决精确覆盖问题的算法，算是 X 算法的优化。

时间复杂度 O(玄学)O(\text{玄学})O(玄学)（最坏是指数级）

精确覆盖问题：

给定一个 N 行 M 列的矩阵，矩阵中每个元素要么是 1，要么是 0。

你需要在矩阵中挑选出若干行，使得对于矩阵的每一列 j，在你挑选的这些行中，有且仅有一行的第 j 个元素为 1。

如上表，选择第 1、4、5 行即符合要求。

X 算法

这个算法的过程如下：

矩阵为空代表得到了解。

否则首先我们找到 1 的个数最少的一列（个数最少可以使搜索次数变少），考虑为了使这一列有 1 选择哪一行。

不管我们选哪一行，这一行都不能再选；对于这一列是 1 的其它行，这一行也不能再选（否则这一列将有不止一个 1），所以我们先把这些行从原矩阵中删掉（但是数据要保留好）。同时这一列将要成功解决，为了避免重复考虑，删掉这一列。

之后把删除一列以及这一列为 1 的所有行的操作简称为删除这一列

接着我们枚举选择这一列是 1 的每一行，看选哪个：

删除这一行所有是 1 的列：
递归求解
如果没有成功，恢复上上步删除的内容。

枚举了每一行都无解，则恢复删掉的内容，并回溯。

我们仍以上面那个矩阵为例（多图警告！）：

首先我们枚举到第一列：

删除之：

我们可以删除第二行或第四行，先枚举第二行，则删除第 4、7 列。

（用了很多颜色，希望看起来清楚一些）

接着递归求解这个矩阵：

先枚举第五列，并删除之。

我们只能选第一行，于是删除第 3、5、6 列。

继续递归，枚举到 2 发现解不动，回溯。

一直回溯到原矩阵，开始尝试第四行。（下面描述从简）

删除，递归求解

枚举第五列，此时只能选择第一行

删除，递归求解

枚举第二列，选择第一行（原矩阵中是第五行）。

删除，递归求解

（空矩阵就不配图了吧）

得到了空矩阵，意味着问题解决了——选择第 1、4、5 行

DLX

DLX 在 X 算法的基础上，使用交叉十字循环双向链表优化，跑得飞快，但时间复杂度仍然是指数级的。

所谓交叉十字循环双向链表，大概是这样的：

其中每一个节点代表一个为 1 的元素。

实际操作时，我们还会在每一列开头添加一个虚拟节点以方便索引：

之后我们的例子都基于之前讲 X 算法用的例子，即：

每个节点有 6 个属性，分别是与其相邻的元素编号与该元素的行列。

struct node{int l,r,u,d;int col,row;node(){}node(int ll,int rr,int uu,int dd,int coll=0,int roww=0):l(ll),r(rr),u(uu),d(dd),col(coll),row(roww){}
};
node dlx[100000];//交叉十字双向循环链表（？）
int head=0,cnt=0;

初始化时仅仅处理虚拟节点：

void init(){//首先处理虚拟节点 for(int i=1;i<=n;i++)dlx[++cnt]=node(i-1,i+1,i,i,i,0);dlx[head].l=n;dlx[head].r=1;dlx[n].r=head;
}

每次插入一行，都要处理这一行内互相指的指针，以及这一行为 1 的元素往上、下指的指针。

void addrow(vector<int> a,int r){//a:为 1 的位置，r:行的编号 int beg=cnt+1;for(int i=0;i<a.size();i++){cnt++;dlx[cnt]=node(cnt-1,cnt+1,dlx[a[i]].u,a[i],a[i],r);dlx[dlx[a[i]].u].d=cnt;dlx[a[i]].u=cnt;++sz[a[i]];}dlx[cnt].r=beg;dlx[beg].l=cnt;
}

在“删除”元素时，我们实际上只是让指针不再指向该节点。若删除一整列，我们只需要将这一列的虚拟节点“删去”，并且把要删除的行的节点从列中“删去”，实际上我们还能遍历这些行与列，恢复起来也很方便。如上图中删去第一列后的效果是这样的：

【图片咕咕咕了】

删除的实现：

void remove(int x){//删除列 dlx[dlx[x].l].r=dlx[x].r;dlx[dlx[x].r].l=dlx[x].l;//先删除虚拟节点 for(int i=dlx[x].d;i!=x;i=dlx[i].d){    //再删除这一列节点所在的 for(int j=dlx[i].r;j!=i;j=dlx[j].r){//每一行的每个节点 dlx[dlx[j].u].d=dlx[j].d;       //（不删除这一列本身） dlx[dlx[j].d].u=dlx[j].u;sz[dlx[j].col]--;}}
}

恢复就是删除的逆操作：

void restore(int x){//恢复列 for(int i=dlx[x].u;i!=x;i=dlx[i].u){    //先恢复这一列节点所在的 for(int j=dlx[i].l;j!=i;j=dlx[j].l){//每一行的每个节点 dlx[dlx[j].u].d=j;dlx[dlx[j].d].u=j;sz[dlx[j].col]++;}}//再恢复虚拟节点 dlx[dlx[x].l].r=x;dlx[dlx[x].r].l=x;
}

这些基本操作准备好后，就按照 X 算法的流程跑。

bool solve(int step){if(dlx[head].r==head)return top=step-1,1;//所有列被消完  int c=dlx[head].r;for(int i=c;i!=head;i=dlx[i].r){if(sz[i]<sz[c])c=i;//寻找 size 最小的列 }remove(c);//如果我们选择了这一列，包含这一列的所有行都不能再选 for(int i=dlx[c].d;i!=c;i=dlx[i].d){//枚举选择哪一行 ans[step]=dlx[i].row;//cout<<"s "<<i<<" "<<dlx[i].row<<endl;for(int j=dlx[i].r;j!=i;j=dlx[j].r){//这一行选择后有很多列被选择，有这些列的其它行不能再被选 remove(dlx[j].col); }if(solve(step+1))return 1;//如果成功，返回 for(int j=dlx[i].l;j!=i;j=dlx[j].l){//不成功，恢复 restore(dlx[j].col); }}restore(c);//一直没有解，恢复 return 0;
}

DLX 与数独

DLX 算法用来解决的一个很经典的问题就是数独。我们可以构造一个矩阵，通过求出其一个精确覆盖的解，来得到数独的一个解。

这个矩阵有至多 729=93729=9^3729=93 行。每一行依次代表在 i 行 j 列填入数字 k。假如这一格是留空的，那就把 k=1∼9k=1\sim 9k=1∼9 都构造对应的行，否则只给指定的 k 构造一行。

很显然，这个精确覆盖问题的解就可以对应到哪一行哪一列放哪个数。下面我们通过构造矩阵的内容来保证填出来的数独符合要求。

要求一：每个格子只能填一个数

我们构造 81=9281=9^281=92 列，每一列依次对应在 i 行 j 列填入了一个数。

这样保证选出来的任意两行都不会对应同一个格子。

要求二：每个行不能重复

我们构造 81=9281=9^281=92 列，每一列依次对应在 i 行填入了 k。

这样保证选出来的任意两行都不会同时对应数独中的同一行、是同一个数。

要求三：每个列不能重复

同理，我们构造 81=9281=9^281=92 列，每一列依次对应在 j 列填入了 k。

要求四：每个宫不能重复

同理，我们构造 81=9281=9^281=92 列，每一列依次对应在 l 宫填入了 k。

这样我们构造了一个 729 行 324 列的矩阵，对其 DLX 一下就能求解。

这里拿一个 4×44\times 44×4 的数独举了个例子：

例题：POJ2676 Sudoku

（大概是完结撒花了）

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