前言

舞蹈链的名字真好玩…

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前言
一、舞蹈链概述
二、舞蹈链例题
总结

一、舞蹈链概述

舞蹈链 (Dancing links)，也叫 DLX ，是由 Donald Knuth 提出的数据结构，目的是快速实现他提出的X算法。X算法是一种递归算法，时间复杂度不确定，深度优先，通过回溯寻找精确覆盖问题所有可能的解

（以上摘自维基百科）

舞蹈链的主要思想来源于双向链表

我们设 l [ x ] l[x] l[x] 表示元素 x x x 的左指针， r [ x ] r[x] r[x] 表示元素 x x x 的右指针

显然，如果想要删除元素 x x x ，我们可以做以下操作

r[l[x]]=r[x]; // x左侧的元素的右指针指向x右侧的元素
l[r[x]]=l[x]; // x右侧的元素的左指针指向x左侧的元素

那恢复元素 x x x 呢？我们可以发现删除 x x x 的时候， x x x 的左右指针并没有改变，即 l [ x ] l[x] l[x] 和 r [ x ] r[x] r[x] 并没有改变，于是我们可以做以下操作

r[l[x]]=x; // x左侧的元素的右指针重新指向x
l[r[x]]=x; // x右侧的元素的左指针重新指向x

这样如果 x x x 左右两侧没有改变，我们就可以恢复 x x x 所在的位置

那么精确覆盖问题又是什么呢？

给定矩阵，要求选出一个由若干行组成的集合，使得每一列上都有且仅有一个 1 1 1

( 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 ) \begin{pmatrix}0&0&1&0&1&1&0 \\ 1&0&0&1&0&0&1 \\ 0&1&1&0&0&1&0 \\ 1&0&0&1&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0&1 \\ 0&0&0&1&1&0&1\end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛010100001010101000010101100001101000010011⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

例如该矩阵选出的行为 1 , 4 , 5 1,4,5 1,4,5 行

我们来模拟一下朴素X算法求解的过程

以下过程用红色表示选择了这一行，绿色表示存在冲突的元素，灰色表示删除的行

1.选择第一行

( 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 ) \begin{pmatrix}\color{red}0&\color{red}0&\color{red}1&\color{red}0&\color{red}1&\color{red}1&\color{red}0 \\ 1&0&0&1&0&0&1 \\ 0&1&1&0&0&1&0 \\ 1&0&0&1&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0&1 \\ 0&0&0&1&1&0&1\end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛010100001010101000010101100001101000010011⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

2.标记所有和第一行冲突的元素

( 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 ) \begin{pmatrix}\color{red}0&\color{red}0&\color{red}1&\color{red}0&\color{red}1&\color{red}1&\color{red}0 \\ 1&0&0&1&0&0&1 \\ 0&1&\color{green}1&0&0&\color{green}1&0 \\ 1&0&0&1&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0&1 \\ 0&0&0&1&\color{green}1&0&1\end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛010100001010101000010101100001101000010011⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

3.删除存在冲突的行

4.接着选择第二行

( 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 ) \begin{pmatrix}\color{red}0&\color{red}0&\color{red}1&\color{red}0&\color{red}1&\color{red}1&\color{red}0 \\ \color{red}1&\color{red}0&\color{red}0&\color{red}1&\color{red}0&\color{red}0&\color{red}1 \\ \color{grey}0&\color{grey}1&\color{grey}1&\color{grey}0&\color{grey}0&\color{grey}1&\color{grey}0 \\ 1&0&0&1&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0&1 \\ \color{grey}0&\color{grey}0&\color{grey}0&\color{grey}1&\color{grey}1&\color{grey}0&\color{grey}1\end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛010100001010101000010101100001101000010011⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

5.标记与第二行冲突的元素

( 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 ) \begin{pmatrix}\color{red}0&\color{red}0&\color{red}1&\color{red}0&\color{red}1&\color{red}1&\color{red}0 \\ \color{red}1&\color{red}0&\color{red}0&\color{red}1&\color{red}0&\color{red}0&\color{red}1 \\ \color{grey}0&\color{grey}1&\color{grey}1&\color{grey}0&\color{grey}0&\color{grey}1&\color{grey}0 \\ \color{green}1&0&0&\color{green}1&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0&\color{green}1 \\ \color{grey}0&\color{grey}0&\color{grey}0&\color{grey}1&\color{grey}1&\color{grey}0&\color{grey}1\end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛010100001010101000010101100001101000010011⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

6.删除存在冲突的行

( 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 ) \begin{pmatrix}\color{red}0&\color{red}0&\color{red}1&\color{red}0&\color{red}1&\color{red}1&\color{red}0 \\ \color{red}1&\color{red}0&\color{red}0&\color{red}1&\color{red}0&\color{red}0&\color{red}1 \\ \color{grey}0&\color{grey}1&\color{grey}1&\color{grey}0&\color{grey}0&\color{grey}1&\color{grey}0 \\ \color{grey}1&\color{grey}0&\color{grey}0&\color{grey}1&\color{grey}0&\color{grey}0&\color{grey}0 \\ \color{grey}0&\color{grey}1&\color{grey}0&\color{grey}0&\color{grey}0&\color{grey}0&\color{grey}1 \\ \color{grey}0&\color{grey}0&\color{grey}0&\color{grey}1&\color{grey}1&\color{grey}0&\color{grey}1\end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛010100001010101000010101100001101000010011⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

7.发现没有可以选择的行了，而已选的不满足要求，回溯，选择第四行

( 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 ) \begin{pmatrix}\color{red}0&\color{red}0&\color{red}1&\color{red}0&\color{red}1&\color{red}1&\color{red}0 \\ 1&0&0&1&0&0&1 \\ \color{grey}0&\color{grey}1&\color{grey}1&\color{grey}0&\color{grey}0&\color{grey}1&\color{grey}0 \\ \color{red}1&\color{red}0&\color{red}0&\color{red}1&\color{red}0&\color{red}0&\color{red}0 \\ 0&1&0&0&0&0&1 \\ \color{grey}0&\color{grey}0&\color{grey}0&\color{grey}1&\color{grey}1&\color{grey}0&\color{grey}1\end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛010100001010101000010101100001101000010011⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
8.接下来的同理，不断执行，直到找到答案

我们会发现， X X X 算法花了大量的时间在找 1 1 1 ，而且删改很不方便

为了解决这个问题，舞蹈链就产生了

模板题 → \to → P4929 【模板】舞蹈链（DLX）

（注：为了方便讲述，以下引用这篇博客中的图片（感谢图片的作者！））

舞蹈链的结构即交叉十字循环双向链，本文中以数组形式实现链表

int n,m; // 行、列数
int u[MAXN],d[MAXN],l[MAXN],r[MAXN],h[MAXN];
// 每个结点的上下左右指针；每一行的头指针int row[MAXN],col[MAXN],s[MAXN],ansk[MAXN],pos;
// 每个结点原先所在的行、列；每一列的结点个数；ansk记录搜索信息；结点总数

如下图所示

别急！我们一步一步来实现这个复杂的数据结构

首先初始化上方的列头结点

我们可以称列头结点为限制，行头结点为决策（注：这个做题的时候有用）

void init()
{for(R int i=0; i<=m; i++){l[i]=i-1;r[i]=i+1;u[i]=d[i]=i; }l[0]=m;r[m]=0; //循环链表memset(h,-1,sizeof(h)); //每一行的头结点都为空memset(s,0,sizeof(s)); //每一列的结点数都为0pos=m+1; //已经搭建好了m个列头结点，下一个加入的结点从m+1开始编号
}

接下来，我们来把插入结点的功能完成（注：这里比较复杂，可以感性理解一下）

void link(R int x,R int y)
{s[y]++; //所在的列结点数加1row[pos]=x;col[pos]=y; //记录编号为pos的结点（即新加入的结点）的行和列u[pos]=y; //pos结点的上指针指向插入的列yd[pos]=d[y]; //pos结点的下指针指向插入位置下方的元素u[d[y]]=pos; //插入位置下方的元素的上指针指向pos结点d[y]=pos; //插入位置上方的下指针指向pos结点if(h[x]<0)h[x]=l[pos]=r[pos]=pos;//如果pos结点所在的这一行没有头结点，就自己当else //不然就插入头结点一侧 （下面的就不注释了，和上面插入的方法类似）{l[pos]=l[h[x]];r[pos]=h[x];r[l[h[x]]]=pos;l[h[x]]=pos;}pos++; //下一个结点不要标错号了
}

现在我们来完成删除和恢复操作（差不多的）

inline void rm(R int y)
{l[r[y]]=l[y];r[l[y]]=r[y];//删除y列的结点（这个位置已经填满了）for(R int i=d[y]; i!=y; i=d[i])for(R int j=r[i]; j!=i; j=r[j])//删除这一行（冲突的行）{d[u[j]]=d[j];u[d[j]]=u[j];s[col[j]]--;//别忘了减1}
}
inline void rv(R int y)
{for(R int i=u[y]; i!=y; i=u[i])for(R int j=l[i]; j!=i; j=l[j])//恢复也是一样的{d[u[j]]=j;u[d[j]]=j;s[col[j]]++;}r[l[y]]=y;l[r[y]]=y;
}

然后可以开始跳舞了
主体部分，就是深度优先搜索

bool dance(R int dep)
{if(!r[0])//所有的列头结点都被选了，说明成功了{for(R int i=0; i<dep; i++)printf("%lld%c",ansk[i]," \n"[i==dep-1]);return 1;}R int y=r[0];for(R int i=r[0]; i; i=r[i])if(s[i]<s[y])y=i;//这里是一个剪枝，每次选择结点最少的列能在一定情况下提高性能rm(y);//删掉这一列for(R int i=d[y]; i!=y; i=d[i])//每次选择这列中的一行{ansk[dep]=row[i];for(R int j=r[i]; j!=i; j=r[j])rm(col[j]);//删掉这一行中所有结点（这一行冲突）if(dance(dep+1))return 1;//成功就返回for(R int j=l[i]; j!=i; j=l[j])rv(col[j]);//恢复}rv(y);return 0;
}

如果您不太理解的话，可以看看下面的动图（注：其实和之前模拟的有些相似）

算法执行过程（注：图片是这篇博客的）

最终的答案即下图（选择 1 , 4 , 5 1,4,5 1,4,5 ）

最后贴上完整代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define R register
#define MAXN 250505
template<typename T>inline void read(R T &k)
{R char ch=getchar(); R T x=0,f=1;while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}k=x*f;
}
int n,m;
int u[MAXN],d[MAXN],l[MAXN],r[MAXN],h[MAXN];
int row[MAXN],col[MAXN],s[MAXN],ansk[MAXN],pos;
void init()
{for(R int i=0; i<=m; i++){l[i]=i-1;r[i]=i+1;u[i]=d[i]=i;}l[0]=m;r[m]=0;memset(h,-1,sizeof(h));memset(s,0,sizeof(s));pos=m+1;
}
void link(R int x,R int y)
{s[y]++;row[pos]=x;col[pos]=y;u[pos]=y;d[pos]=d[y];u[d[y]]=pos;d[y]=pos;if(h[x]<0)h[x]=l[pos]=r[pos]=pos;else{l[pos]=l[h[x]];r[pos]=h[x];r[l[h[x]]]=pos;l[h[x]]=pos;}pos++;
}
inline void rm(R int y)
{l[r[y]]=l[y];r[l[y]]=r[y];for(R int i=d[y]; i!=y; i=d[i])for(R int j=r[i]; j!=i; j=r[j]){d[u[j]]=d[j];u[d[j]]=u[j];s[col[j]]--;}
}
inline void rv(R int y)
{for(R int i=u[y]; i!=y; i=u[i])for(R int j=l[i]; j!=i; j=l[j]){d[u[j]]=j;u[d[j]]=j;s[col[j]]++;}r[l[y]]=y;l[r[y]]=y;
}
bool dance(R int dep)
{if(!r[0]){for(R int i=0; i<dep; i++)printf("%lld%c",ansk[i]," \n"[i==dep-1]);return 1;}R int y=r[0];for(R int i=r[0]; i; i=r[i])if(s[i]<s[y])y=i;rm(y);for(R int i=d[y]; i!=y; i=d[i]){ansk[dep]=row[i];for(R int j=r[i]; j!=i; j=r[j])rm(col[j]);if(dance(dep+1))return 1;for(R int j=l[i]; j!=i; j=l[j])rv(col[j]);}rv(y);return 0;
}
signed main()
{read(n);read(m);init();for(R int i=1; i<=n; i++)for(R int j=1,t; j<=m; j++){read(t);if(t)link(i,j);}if(!dance(0))puts("No Solution!");return 0;
}

二、舞蹈链例题

如果您看到这里，还是很明白的话，那么我们来讲个例题

题目链接：SP13980 SUDOGOB - Sudoku goblin

题意：给定一个 9 × 9 9 \times 9 9×9 的数独，输出可填的方案数，多组数据

选择这个例题当然不是让你写暴搜的

首先考虑决策

每个格子上填数字，至多有 9 × 9 × 9 = 729 9\times 9\times 9 = 729 9×9×9=729 种决策

再考虑限制

每个点只能填一个数
每行一个数只能填一次
每列一个数只能填一次
每个九宫格一个数只能填一次

限制数为 9 × 9 × 4 = 324 9\times 9 \times 4 = 324 9×9×4=324

对于精准覆盖问题，我们本质上是在选择若干决策，使其恰好满足所有限制条件

因此这题可以用 DLX 求解

那么 MAXN只要开到 729*324 就行了（注：不过开大点保险）

这题唯一的细节是插入结点的行、列，还是很简单的题目

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define R register
#define MAXN (729*324+6666)
int Q;
bool suc;
int a[25][25];
int ans[25][25],Ans;
int h[MAXN],l[MAXN],r[MAXN],u[MAXN],d[MAXN];
int row[MAXN],col[MAXN],pos,s[MAXN],ansk[MAXN];
template<typename T>inline void read(R T &k)
{R char ch=getchar();R T x=0,f=1;while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}k=x*f;
}
inline void init()
{int m=324;Ans=0;suc=0;for(R int i=0; i<=m; i++){l[i]=i-1;r[i]=i+1;u[i]=d[i]=i;}l[0]=m;r[m]=0;memset(s,0,sizeof(s));memset(h,-1,sizeof(h));pos=m+1;
}
inline void link(R int x,R int y)
{s[y]++;row[pos]=x;col[pos]=y;u[pos]=y;d[pos]=d[y];u[d[y]]=pos;d[y]=pos;if(h[x]<0)h[x]=l[pos]=r[pos]=pos;else{l[pos]=l[h[x]];r[pos]=h[x];r[l[h[x]]]=pos;l[h[x]]=pos;}++pos;
}
inline void rm(R int y)
{r[l[y]]=r[y];l[r[y]]=l[y];for(R int i=d[y]; i!=y; i=d[i])for(R int j=r[i]; j!=i; j=r[j]){u[d[j]]=u[j];d[u[j]]=d[j];s[col[j]]--;}
}
inline void rv(R int y)
{for(R int i=u[y]; i!=y; i=u[i])for(R int j=l[i]; j!=i; j=l[j]){u[d[j]]=j;d[u[j]]=j;s[col[j]]++;}l[r[y]]=y;r[l[y]]=y;
}
void dance(R int dep)
{if(!r[0]){Ans++;if(Ans>1)suc=1;for(R int i=0; i<dep&&!suc; i++){R int x=(ansk[i]-1)/9/9+1;R int y=(ansk[i]-1)/9%9+1;R int z=(ansk[i]-1)%9+1;ans[x][y]=z;}return;}R int y=r[0];for(R int i=r[0]; i!=0; i=r[i])if(s[i]<s[y])y=i;rm(y);for(R int i=d[y]; i!=y; i=d[i]){ansk[dep]=row[i];for(R int j=r[i]; j!=i; j=r[j])rm(col[j]);dance(dep+1);for(R int j=l[i]; j!=i; j=l[j])rv(col[j]);}rv(y);
}
signed main()
{read(Q);while(Q--){init();for(R int i=1; i<=9; i++)for(R int j=1; j<=9; j++){read(a[i][j]);R int &t=a[i][j];for(R int k=1; k<=9; k++){if(t!=k&&t!=0)continue;R int o=(i-1)*9*9+(j-1)*9+k;R int c1=81*0 + (i-1)*9+(j-1)+1;R int c2=81*1 + (i-1)*9+k;R int c3=81*2 + (j-1)*9+k;R int c4=81*3 + ((i-1)/3*3+(j-1)/3)*9+k;link(o,c1);link(o,c2);link(o,c3);link(o,c4);}}dance(0);if(!Ans){puts("0");continue;}printf("%lld\n",Ans);for(R int i=1; i<=9&&!suc; i++)for(R int j=1; j<=9; j++)printf("%lld%c",ans[i][j]," \n"[j==9]);}return 0;
}

当然，如果您有兴趣的话，可以去做下这道题

题目链接：SP1110 SUDOKU - Sudoku

这道题就是上一题的加强版，其实没什么区别，如果您理解了例题的话，这题就很简单了

总结

本文介绍了舞蹈链

转载请说明出处

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