曲率、挠率的离散推广

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Author:二圈妹

曲率、挠率等概念的离散推广。在很多场景中我们会用到曲率、挠率。

比如狄利克雷能量(Dirichlet Energy)是平滑界（smoothing）的常客:

连续

先硬插一点info，因为构建离散曲线，大部分时间都一段一段连起来，曲线的连续性，有 C(continuity) 和 G(geometry continuity)字母来代表, 如果一段一段之间的导数是到 n 阶都能匹配的，那么我们说它是 C^n连续的，比如：

C0: 仅连接
C1: 切线和切线的导数一致
C2: 曲率一致

G则代表我们仅需n阶导成比例：比如 G1 代表切线方向一致，大小可能不同。

图是一些连续性条件的示意图。一阶导数不连续( 曲线满足 C^0 ,而不满足 C^1 )通常是非常明显的，因为它显示出一个明显的尖角。二阶导数不连续有时候也是比较明显的。更高阶的不连续性可能是一个要紧的问题，这主要取决于实际的应用。例如，如果曲线代表-定的运动，二阶导数上突变是非常明显的，所以经常会用到三阶导数。如果有液体从曲线上流过去(例如，如果它的形状是飞机的机翼或者是船体)，在四阶或五阶导数的不连续可能会引起湍流。

图片来自《计算机图形学》 Peter Shirley

曲率

假设 f in R^n 是点坐标，0,1,2,...,m(m+1)Points,那么：

弧长： \delta s_i = ||f_i - f_(i-1)||, i=1,2,...,m
中点单位切向量： \delta f_i = (f_i - f_(i-1)) / \delta s_i ,i=1,2,...,m

这都很容易理解，毕竟对于光滑的曲线：

切向量： T = d r / d s

接下来看曲率：

曲线的曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

当然还有曲率向量的概念：

若某向量模数等于研究点处给定曲线的曲率，而该向量的方向与该点处曲线的主法线方向相同，则称该向量为曲率向量。

所以,

顶点处的曲率向量(vertex normal curvature vector)：
\delta^2 f_i = (\delta f_(i+1) - \delta f_i)/ [(\delta s_(i+1) + \delta s_i) /2],i=1,2,...,m-1.

对比连续曲线的曲率向量： \kappa = d T / d s

在此之上，我们可以继续看曲率的微分：

曲率向量微分： \delta^3 f_i = (\delta^2 f_i - \delta^2 f_(i-1))/ \delta s_i, i=1,2,...,m

当然其实我们这里的 f_i 已经是很好的离散点了，想象我们的点并不像我们上图画的这样，而是如下的 P_j ：

这种情况我们当然就需要做一些预处理，比如可能出现的浮点预算错误.

当然如果严密一点那么我们需要 normalize，单位化这个次法向量。

挠率的定义是：

在初等三维曲线的微分几何中，一条曲线的挠率（torsion，或译扭率）度量了其扭曲的程度，即偏离平面曲线的程度。

既然挠率的定义是其偏离平面的程度，所以中点的挠率可以定义成：

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