曲线积分与曲面积分总结_曲线、曲率、挠率以及离散曲线
曲线
曲线,听起来很简单,看起来也很直观,但是如果我们看一下维基百科上关于曲线的定义:
设 I=[a,b]为一实数区间,即实数集的非空子集,那么曲线c 就是一个连续函数c : I → X 的映像,其中X 为一个拓扑空间。
不禁让人疑惑,为什么要这么抽象的定义呢?为什么不用函数、微积分里面的定义?
的确不太好, 比如
所以我们给它如同以上的定义。对于曲线我的理解可能就是如同理解曲面一样,正如曲面我们可以理解成是一小块一小块平面贴起来的,曲线也就是一小段一小段的直线。
同时也有正则曲线的定义:
-曲线是正则的(regular)如果对任何
再来看以下定义:
这是不同的曲线么? 其实不,它们可以都是 y = x 这条直线。
再看:
同样上面也是可以是单位圆的参数化表示,o(╯□╰)o同一条曲线会有不同的参数化表示,重新映射t,就会得到不同的参数化表示同一条曲线:
这也很容易理解,比如我们开车同样从 A 点开到 B 点,我们可以有不一样的速度,也就是不一样的参数表示:
同样这也给了我们一些启示,那就是这里的’车速‘可能并不是一个很好的对曲线的描述。因为对于同一条曲线是不同的。
对同一条曲线,无论我们怎样参数化,曲线的长度都是一样的(积分换元法可以简单证明):
那么从
同时:
这说明 S(t) 是一个单调递增的函数, 令
弧长参数化我们一般写作
沿着曲线单位速度运动的结果就是我们已经某种程度上摆脱掉之前我们说的从A点开车到B,不同的速度造成不同的参数化的影响。
那么当我们沿着曲线单位速度运动,是否我们还能感受到’力‘呢?看一眼上面的曲线,其实是的,这个力并非是由于车加速减速而造成的,而是曲线本身的性质,因为曲线是’弯曲的‘而造成的。
平面曲线
对于
我们知道
求导:
在上面的式子中:
再次微分:
上面的式子结合起来:
其中:
- 是曲线的单位切向量
- 是曲线的单位法向量,是向左转90°,跟它垂直
- 是和之间的夹角
- 是有符号的曲率,它测量随着单位弧长角度的和变化,如果我们以单位速度在曲线上行驶,那么表明为了保持在曲线上,我们必须转动的方向。或者说:,也可以将理解成司机在曲线上保持匀速运动所受的力(牛顿第二定律),当这个曲线是直线的时候为0,这是为了防止司机沿切向加速。
上述结论是我们用了一个坐标系统
对于曲率的另一个理解当然就是相切圆的导数:
平面曲线其实是由曲率
关于曲线还有一种有趣的看法,高斯映射。
高斯映射将曲线或曲面上每一点映射到单位圆或单位球面上的对应点。
平面上的闭曲线关于某个点的卷绕数,是一个整数,它表示了曲线绕过该点的总次数。
空间曲线
对于$
先看一个简单的定理 :
所以可以知道存在
所以我们在
经过推导,我们可以写出类似的在Frenet标架中它们的关系:
- 为副法向量 ,它垂直于切向量和法向量
- 曲率,在曲面的运动
- 挠率,离开曲面的运动
如同平面曲线由
Frenet 标架可以推广到更高维的曲线中:
离散曲线
平面曲线
写了这么多理论的东西,但我们讲到计算机中都曲线的时候,比如 Beizer Curve,我们问一下它的 arc length parametrization 都会让人头大。更经常,我们可能是用线段来模拟曲线:
这些线段如果完全按照数学理论来说,在线段的内部其曲率是0,而在交界处交界是
我们需要想办法把上述曲线上的性质想办法挪到离散曲线上,比如下面是 ‘离散高斯映射‘:
不过值得注意的是在映射中:
- 线段 -> S1上的顶点
- 顶点 -> S1上的线段
注意颜色的对应。
内角的概念可以延伸到像星形之类边和边相交的非简单多边形。此时内角和可以表示为180(n-2k)°,其中n为多边形边数,k = 0, 1, 2, 3 ...为绕多边形的边走一圈时,会旋转几个360°,换句话说,360k°表示外角和。例如对于一般的凸多边形和凹多边形,绕多边形的边走一圈时只会旋转一个360°,因此外角和为360°。
所以会让我们思考,比如上面的
我们的斜率应该是
空间曲线
空间曲线选择不同的离散和模拟方式,甚至选择不同的标架(Bishop Frame),也会得到不同的结果,比如可能是
那么在实际使用中,有看到过针对平面曲线取离散的三个点来拟合二次函数算曲率的,比如这篇:
Pjer:计算离散点的曲率(附Python, MATLAB代码)zhuanlan.zhihu.com
也有见到比如用三个点来圆/球来算曲率的。
还看到过这种:
这就很贴合上面的离散斜率。
至于到底选择什么作为斜率只能说具体问题,具体选择,当它是最适合你的时候就是一个好的曲率。
参考:
- 大量参考wikipedia
- Curves
曲线积分与曲面积分总结_曲线、曲率、挠率以及离散曲线相关推荐
- 曲线积分与曲面积分总结_高数下册||知识点总结
知识点总结 - 期末来临,你准备好了吗 - 高 等 数学 学 下 一转眼 又一学期即将结束 期末考试也悄悄地临近了 大家都准备好了吗 我们为大家带来了高等数学(下)的复习资料 来吧,展示! 1 向量代 ...
- 对坐标的曲线积分求做功_曲线积分与曲面积分(前篇 曲线积分-坐标曲线积分-格林公式)...
曲线积分,曲面积分分别有七个小节. 1 对弧长的曲线积分 2 对坐标的曲线积分 3 格林公式及其应用 4 对面积的曲面积分 5 对坐标的曲面积分 6 高斯公式 7 斯托克斯公式 然而今天看了斯托克斯公 ...
- 曲线积分与曲面积分总结_高等数学课程内容、知识点总结与典型题
点"考研竞赛数学"↑可每天"涨姿势"哦! 课程内容总结文章列表 <高等数学>课程学习.备考应知应会知识点必备网络图 全套<高等数学>内容 ...
- 曲线积分与曲面积分总结_高等数学、线性代数、概率统计等课程单元、综合测试题与知识点总结...
点"考研竞赛数学"↑可每天"涨姿势"哦! <高等数学>单元测试与综合练习题 <函数与连续>单元测试题(一)及参考解答 <函数与连续 ...
- 数学分析_多元函数积分——曲线积分、曲面积分总结
多元函数积分--曲线积分.曲面积分 1.积分形式与物理意义 曲线积分 I类曲线积分:∫Lf(x,y)ds\int_Lf(x,y)ds∫Lf(x,y)ds f(x,y)为线密度,积分结果为质量.因此, ...
- 曲线积分与曲面积分总结_曲线积分与曲面积分单元测试题(一)及详细参考解答...
点"考研竞赛数学"↑可每天"涨姿势"哦! [注1]本次测试主要内容为高等数学.数学分析.微积分教材中<曲线积分与曲面积分>章节的主要内容,建议自己在 ...
- 曲线积分与曲面积分总结_曲线积分和曲面积分公式总结
这是我第一次写文章,还是有点兴奋. ️内容是自己看完曲线积分和曲面积分后的公式总结.本人正在准备考研,希望可以通过写文章的方式督促自己多总结,也可以将自己的学习成果和大家分享.文中难免有错的地方,希望 ...
- 第十一章 曲线积分与曲面积分
本章将把积分概念推广到积分范围为一段曲线弧或一片曲面的情形(这样推广后的积分称为曲线积分和曲面积分),并阐明有关这两种积分的一些基本内容.--高等数学同济版 目录 习题11-1 对弧长的曲线积分 5. ...
- 数学分析笔记17:曲线积分与曲面积分
文章目录 第一型曲线积分与曲面积分 第一型曲线积分 曲线的弧长 第一型曲线积分的物理背景及定义 第一型曲线积分的计算公式 第一型曲面积分 第一型曲面积分的物理背景及定义 第一型曲面积分的计算公式 第二 ...
最新文章
- Makefile中的几个调试方法
- 疯狂Spring Cloud连载(5)Eureka集群搭建
- 书多嚼不烂,看书的方法
- 32和64位系统各内置类型所占字节大小(int char long double 指针等)
- cmosfixr插件怎么用_3dmax插件神器|怎么用3dmax插件神器去完成背景墙的效果图设计?...
- Matlab矩阵查找
- 大连理工优化方法matlab,大连理工大学2016年秋季优化方法大作业.pdf
- 10款 非常酷炫的网站首页焦点图 兼容ie浏览器
- Linux下使用curl
- python 编程效率_五个Python编程Tips,帮你提高编码效率
- windows 10
- 统计当前文件夹下pdf文件的页码总数
- 蓝屏代码——STOP:c000021a Unknown Hard Error
- CAPM模型的应用--回归模型中的Alpha, r_f
- matlab 黄金分析,matlab黄金分割法求解
- 硬件设计3---什么是电容?
- 集成钉钉机器人消息通知
- 希望计算机专业同学都知道这些宝藏博主
- 在Ubuntu下登录qq的时候显示“您已登录xxxxx,不能重复登录”
- 面经1.小米前端实习