完全背包问题(动态规划）

3. 完全背包问题

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有 NN 种物品和一个容量是 VV 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 ii 种物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wivi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000

输入样例

输出样例：

完全背包问题与01背包问题是不一样的，对于01背包，每个物品只有两个选择，不要，或者拿一个，因此对于dp[i][j](在容量为J时，拿第I个物品时的总价值)它的最大值要不是dp[i-1][j]，不拿,要不就是dp[i][j-v[i]]+w[i]],拿

但是对于完全背包，并不是这么简单它可以拿很多个因此它的状态转移方程是

**dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]+w[i],dp[i-1][j-2v[i]]+2w[i]]......dp[i-1][j-kv[i]]+kw[i])只要J能够满足容量**,而我们可得到另一个数组的公式

dp[i][j-v]=max(dp[i-1][j-v],dp[i-1][j-2*v]+w[i]......) 它与上述公式max判断的第二位仅仅差一个w,所以max的第二位可以转化为

dp[i][j-v]+w[i];这样就可以得到简化的状态转移方程，那么完全背包就很容易写出来来了

我写的完全背包还没有优化数组，就是二维优化为一维，但是也不是很难了，

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int w[10001],v[10001];
int dp[10010][10010];
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<=m;j++){dp[i][j]=dp[i-1][j];if(j>=v[i])dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);}}cout<<dp[n][m];
}

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完全背包问题与01背包问题是不一样的，对于01背包，每个物品只有两个选择，不要，或者拿一个，因此对于dp[i][j](在容量为J时，拿第I个物品时的总价值)它的最大值要不是dp[i-1][j]，不拿,要不就是dp[i][j-v[i]]+w[i]],拿

但是对于完全背包，并不是这么简单它可以拿很多个因此它的状态转移方程是

**dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]+w[i],dp[i-1][j-2v[i]]+2w[i]]......dp[i-1][j-kv[i]]+kw[i])只要J能够满足容量**,而我们可得到另一个数组的公式

dp[i][j-v]=max(dp[i-1][j-v],dp[i-1][j-2*v]+w[i]......) 它与上述公式max判断的第二位仅仅差一个w,所以max的第二位可以转化为

dp[i][j-v]+w[i];这样就可以得到简化的状态转移方程，那么完全背包就很容易写出来来了

我写的完全背包还没有优化数组，就是二维优化为一维，但是也不是很难了，

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但是对于完全背包，并不是这么简单它可以拿很多个因此它的状态转移方程是

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]+w[i],dp[i-1][j-2*v[i]]+2*w[i]]......dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i])只要J能够满足容量,而我们可得到另一个数组的公式

dp[i][j-v]=max(dp[i-1][j-v],dp[i-1][j-2*v]+w[i]......) 它与上述公式max判断的第二位仅仅差一个w,所以max的第二位可以转化为

dp[i][j-v]+w[i];这样就可以得到简化的状态转移方程，那么完全背包就很容易写出来来了

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